3ª. Questão [3,0 pontos]: (a) [1,0] Resolva a equação 2 − 4 sen ???? = 0 para ???? ∈ ℝ . Marque as soluções no círculo trigonométrico. (b) [1,0...

(a) Para resolver a equação 2 - 4sen(θ) = 0, basta isolar o seno e encontrar o ângulo correspondente. Temos: 2 - 4sen(θ) = 0 -4sen(θ) = -2 sen(θ) = 1/2 As soluções para essa equação são θ = π/6 + 2πk ou θ = 5π/6 + 2πk, onde k é um número inteiro. Essas soluções podem ser marcadas no círculo trigonométrico nos pontos (π/6, 1/2) e (5π/6, 1/2). (b) Para resolver a inequação 2 - 4sen(θ) ≥ 0, basta encontrar os valores de θ que satisfazem a equação 2 - 4sen(θ) = 0 (encontrados no item (a)) e verificar em qual intervalo [0, 2π] esses valores de θ fazem com que a função seno seja positiva. Temos: 2 - 4sen(θ) = 0 sen(θ) = 1/2 As soluções para essa equação são θ = π/6 + 2πk ou θ = 5π/6 + 2πk, onde k é um número inteiro. Para verificar em qual intervalo [0, 2π] esses valores de θ fazem com que a função seno seja positiva, basta observar que o seno é positivo nos quadrantes I e II. Portanto, as soluções para a inequação são θ ∈ [π/6, π/2] ∪ [5π/6, 3π/2]. (c) Para determinar o domínio da função f(θ) = arccos(4 - θ), devemos observar que o argumento do arco cosseno deve estar no intervalo [-1, 1]. Portanto, temos: 4 - θ ∈ [-1, 1] -1 ≤ θ - 4 ≤ 1 3 ≤ θ ≤ 5 Assim, o domínio da função é θ ∈ [3, 5]. Para resolver a equação arccos(4 - θ) = 2θ/3, podemos aplicar a função cosseno em ambos os lados da equação e usar a identidade cos(arccos(x)) = x. Temos: cos(arccos(4 - θ)) = cos(2θ/3) 4 - θ = cos(2θ/3) θ = 3cos(2θ/3) + 4 Essa equação não pode ser resolvida analiticamente, mas pode ser resolvida numericamente por métodos numéricos ou gráficos.