Utilizando a técnica de mudança de variáveis, determine a integral definida, sabendo que 1. 1/2 2. Correta: 1/10 3. 2 4. 1/11 5. 1

Para resolver essa integral, podemos utilizar a técnica de mudança de variáveis. Fazendo a substituição u = x² - 2x + 2, temos: du/dx = 2x - 2 dx = du/(2x - 2) Substituindo na integral, temos: ∫(x-1)/(x²-2x+2) dx = ∫(x-1)/(u) * (du/(2x-2)) Repare que o denominador da fração racional é igual a u, que é a variável de integração. Podemos simplificar a expressão: ∫(x-1)/(u) * (du/(2x-2)) = (1/2) ∫du/u = (1/2) ln|u| + C Substituindo u = x² - 2x + 2, temos: (1/2) ln|x²-2x+2| + C Agora, para calcular a integral definida, basta substituir os limites de integração: ∫(x-1)/(x²-2x+2) dx (de 1 a 3) = [(1/2) ln|3²-2*3+2| - (1/2) ln|1²-2*1+2|] = (1/2) ln(11/1) = ln√11 Portanto, a alternativa correta é a letra D) 1/11.