APLICAÇÕES 1) Em uma cultura, há inicialmente N0 bactérias. Uma hora depois, t = 1, o número de bactérias passa a ser (3/2)N0. Se a taxa de c...

Essas são questões de matemática que exigem cálculos e resoluções. Aqui estão as respostas para cada uma delas: 1) A taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, então podemos escrever a equação diferencial: dN/dt = kN, onde k é a constante de proporcionalidade. Integrando essa equação, obtemos: ln(N) = kt + C, onde C é a constante de integração. Usando as informações do problema, temos: N(1) = (3/2)N0. Substituindo na equação, temos: ln[(3/2)N0] = k + C. Agora, precisamos encontrar o tempo necessário para que o número de bactérias triplique, ou seja, N = 3N0. Substituindo na equação, temos: ln(3N0) = kt + C. Subtraindo as duas equações, obtemos: ln(2N0) = kt. Resolvendo para t, temos: t = ln(2N0)/k. Agora, precisamos encontrar k. Usando a equação diferencial, temos: dN/dt = kN. Substituindo N = N0 e t = 1, temos: k = ln(3/2). Substituindo na equação para t, temos: t = ln(2N0)/ln(3/2) ≈ 1,81 horas. 2) A taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente, então podemos escrever a equação diferencial: dA/dt = -kA, onde k é a constante de proporcionalidade. Integrando essa equação, obtemos: ln(A) = -kt + C, onde C é a constante de integração. Usando as informações do problema, temos: A(15) = 0,99957A0. Substituindo na equação, temos: ln(0,99957A0) = -15k + C. Agora, precisamos encontrar a meia-vida, que é o tempo necessário para que a quantidade remanescente seja igual a metade da quantidade inicial. Substituindo A = 0,5A0 na equação, temos: ln(0,5A0) = -kt + C. Subtraindo as duas equações, obtemos: ln(0,99957A0) - ln(0,5A0) = 15k. Resolvendo para k, temos: k = ln(2)/(15ln(0,99957/0,5)) ≈ 4,5 x 10^-10 anos^-1. Agora, podemos encontrar a meia-vida usando a equação: t1/2 = ln(2)/k ≈ 1,54 x 10^9 anos. 3) A idade do fóssil pode ser encontrada usando a equação: A/A0 = e^(-kt), onde A é a quantidade remanescente de C-14, A0 é a quantidade original de C-14 e k é a constante de proporcionalidade. Sabemos que A/A0 = 1/1000, então podemos escrever: 1/1000 = e^(-kt). Tomando o logaritmo natural dos dois lados, temos: ln(1/1000) = -kt. Resolvendo para t, temos: t = -ln(1/1000)/k. Agora, precisamos encontrar k. Sabemos que a meia-vida do C-14 é de aproximadamente 5730 anos, então podemos usar a equação: t1/2 = ln(2)/k. Resolvendo para k, temos: k = ln(2)/5730 anos ≈ 1,21 x 10^-4 anos^-1. Substituindo na equação para t, temos: t = -ln(1/1000)/(ln(2)/5730) ≈ 17.710 anos. Portanto, a idade do fóssil é de aproximadamente 17.710 anos.