Lista de Equações Diferenciais de Primeira Ordem

Prévia do material em texto

Primeira Lista de Eq. Dif. Primeira Ordem - Prof. Roberto
1) Nos problmas abaixo, verifique se a função
dada (ou funções dadas) constituem solução da
equação diferencial.
1. y′′ − y = 0; y1(t) = et, y2(t) = cosht
2. y′′ + 2y′3y = 0; y1(t) = e
−3t, y2(t) = e
t
3. ty′ − y = t2, y1(t) = et, y1(t) = 3t+ t2
4. 2t2y′′ + 3ty′ − y = 0, t > 0; y1(t) = t1/2,
y2(t) = t
−1
5. y′′ + y = sect, 0 < t < π/2;
y = (cost)ln(cost) + tsent
6. α2uxx = ut; u(x) = e
−alpha2tsenx
7. α2uxx = utt; u(x) = sen(λx)sen(λat)
2) Em cada problema, usando o método “fa-
tor integrante” determine a solução geral para a
equação diferencial dada e use-a para determinar
como as soluções se comportam quanto t→∞.
1. y′ + 3y = t+ e−2t
2. y′ + y = te−t + 1
3. y′ − 2y = 3et
4. y′ + 2ty = 2te−t
2
5. 2y′ + y = 3t
6. y′ + y = 5sen(2t)
3) Usando o Fator integrante, resolva os proble-
mas de valor inicial.
1. y′ − y = 2te2t, y(0) = 1;
2. y′ + 2y = te−2t, y(1) = 0;
3. ty′ + 2y = t2 − t+ 1, y(1) = 1/2, t > 0;
4. y′ + 2
t
y = cost
t2
, y(π) = 0, t > 0;
5. y′ − 2y = e2t, y(0) = 2;
6. ty′ + 2y = sen(t), y(π/2) = 1;
4) Nos problemas a seguir, a) Determine a
solução do problema de valor inicial, b) Deter-
mine o intervalo em que a solução é válida, e c)
Descreva o comportamento da solução quando t
se aproxima das extremindades do intervalo.
1. ty′ + 2y = t2 − t+ 1, y(1) = 1/2;
2. ty′ + y = et, y(1) = 1;
3. ty′ + 2y = sent, y(π) = 1/π,
4. y′ + (cott)y = 4sent, y(−π/2) = 0;
5. (1− t2)y′ − ty = t(1− t2), y(0) = 2;
5) Usando o método de Variáveis Separadas, a)
Determine a solução do problema de valor ini-
cial, b) Determine o intervalo em que a solução é
válida, e c) Descreva o comportamento da solução
quando t se aproxima das extremindades do inter-
valo.
1. y′ = (1− 2x)y2, y(0) = −1/6;
2. y′ = (1− 2x)/y, y(1) = −2;
3. xdx′ + ye−xdy = 0, y(0) = 1,
4. dr/dθ = r2/θ, r(1) = 2;
6) Nos problemas que se seguem, usando a teoria
de equações exatas, encontre suas soluções.
1. (2x+ 3) + (2y − 2)y′ = 0;
2. (3x2 − 2xy + 2)dx+ (6y2 − x2 + 3)dy = 0;
3. (2xy2 + 2y) + (2x2y + 2x)y′ = 0;
4.
dy
dx
=
ax+ by
bx+ cy
;
5. (exseny2ysenx)dx+ (e
xcosy+ 2cosx)dy = 0;
6. (3x2y + 2xy + y3)dx+ (x2 + y2)dy = 0;
7. y′ = e2x + y − 1;
8. dx+ (x/y − seny)dy = 0;
9. ydx+ (2xy − e−2y)dy = 0
1
7) Em cada um dos problemas a seguir, mostre que as equações são homogêneas e resolva as
equações diferenciais.
1)
dy
dx
=
x+ y
x
; 2)
dy
dx
=
x2 + xy + y2
x2
; 3)
dy
dx
=
4y − 3x
2x− y
;
4)
dy
dx
=
x+ 3y
x− y
; 5)
dy
dx
=
4x2y − y3
x3 − 2xy2
; 6)
dy
dx
=
x2 − 3y2
2xy
;
8) Um fato interessante é que se M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 for uma equação homogênea, então terá
µ(x, y) =
1
xM(x, y) + yN(x, y)
como fator integrante. Usando esse resultado, resolva as equações
diferenciais:
a) 2ydx− xdy = 0; b) dy
dx
=
x2 + 3y2
2xy
;
9) Usando a abordagem dada em sala sobre as Equações de Bernoulli e Riccati, encontre as soluções
das equações diferenciais.
a)x
dy
dx
+ y =
1
y2
; b)
dy
dx
= y(xy3 − 1);
c)x2
dy
dx
+ y2 = xy; d)x2
dy
dx
− 2xy = 3y4, y(1) = 1
2
;
e)y
1
2
dy
dx
+ y
3
2 = 1, y(0) = 4; f)2
dy
dx
=
y
x
− x
y2
, y(1) = 1
g)
dy
dx
= −2− y + y2, y1 = 2 h)
dy
dx
= − 4
x2
− 1
x
y + y2, y1 =
2
x
;
i)
dy
dx
= e2x + (1 + 2ex)y + y2, y1 = −ex;
APLICAÇÕES
1) Em uma cultura, há inicialmente N0 bactérias. Uma hora depois, t = 1, o número de bactérias
passa a ser (3/2)N0. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes,
determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique.
2) Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos, foi detectado que
0, 043% da quantidade inicial A0 de plutônio se desintegrou. Encontre a meia-vida desse isótopo, se
a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente.
3) Um osso foscilizado contém 1/1.000 da quantidade original do carbono 14, C − 14. Determine a
idade do fóssil sabendo que que a meia-vida do C − 14 é de aproximadamente 5.600 anos.
4) Suponha que a temperatura de uma x́ıcara de café obedece à Lei de Newton do resfriamento.
Se o café está a uma temperatura de 900C logo depois de coado e um minuto depois a temperatura
diminuiu para 850C em uma cozinha que se encontra a 250C, determine o tempo que o café levará
para chegar a uma temperatura de 650C.
5) Numa investigação de homićıdio, ou de morte acidental, é muitas vezes importante estimar o
instante da morte. Sabe-se que a temperatura superficial e um corpo se altera com uma taxa propor-
cional à diferença de temperatura entre a do corpo e a temperatura das vizinhanças (a temperatura
ambiente), lei de Newton do resfriamento. Assim, se T (t) for a temperatura do corpo num
instante t, e se Tm for a temperatura constante do ambiente, então T deve obedecer a equação dife-
rencial
dT
dt
= −k(T−Tm), onde k > 0 é a constante de proporcionalidade. Admita que a temperatura
2
do corpo seja 300C no instante da descoberta e 230C duas horas depois. Considere ainda a tempe-
ratura ambiente de 00C. Determine o intervalo entre a hora da morte e a hora da descoberta do corpo.
6) Consideremos um reservatório contendo V litros de uma solução salina com concentração de b
kg de sal por litro começa a receber, a uma vazão constante de a+ litros por segundo, uma solução
salina com concentração de c kg de sal por litro de solução. O reservatório disponha de um me-
canismo que mantém a solução homogênea à medida que o reservatório enche. Suponhamos que,
concomitantemente com a injeção de água salgada no reservatório, começa a ser retirada do reser-
vatório a solução formada, à razão constante de a− litros por segundo.
Obs.: Denotando por x(t) a quantidade de sal, em kg, presente no reservatório em um instante t,
pode-se mostrar que x(t) satisfaz a equação diferencial
dx
dt
= a+c−
a−x
V + (a+ − a−)t
.
(a) Determine a solução geral do problema acima.
(b) No caso em que a+ = a?, verifique o que acontece com a concentração de sal no reservatório
quando t→∞.
7) No instante t = 0 um tanque contém Q0kg de um certo sal dissolvidos em 100 litros de água. Uma
solução de sal e água, com 0, 25kg de sal por litro de água, entra no tanque à razão de r litros/minutos
e uma solução homogênea dai do tanque com a mesma vazão. Formule o problema de valor inicial
que descreve este processo (use o exerćıcio anterior). Determine a quantidade de sal Q(t) presentes
no tanque em um dado instante t.
a) Calcule a quantidade de sal depois de um longo peŕıodo, isto é, QL = lim
t→∞
Q(t);
b) Se r = 3 e Q(0) = 5 expresse a quantiddade de sal Q como função apenas de t.
c) Quanto tempo levará para que a quantidade de sal seja de 15 kg?
8) Num tanque há 100 litros de uma solução contendo 30 gramas de sal. Água (sem sal) entra
no tanque à razão de 6 litros por minuto e a mistura se escoa à razão de 4 litros por minuto,
conservando-se a concentração uniforme por agitação.
(a) Determine uma expressão para a quantidade e para a concentração de sal no tanque em um
tempo t qualquer.
(b) Determinar qual a concentração de sal no tanque ao final de 35 minutos.
9) Um tanque com 500 litros de capacidade contém originalmente 200 litros de água com 100 kg
de um certo sal em solução. Um fluxo de água contendo 1 kg de sal por litro entra no tanque
com uma avazão de 3 litros/minuto e a solução homogênea sai do tanque com uma vazão de 2 li-
tros/minuto. Determine a quantidade de sal no tanque em função do tempo antes que ele comece
a transbordar. Determine a concentração (em kg por litro) de sal no tanque quando ele está com-
pletemente cheio. Compare essa concentração com a concentração limite se o tanque tivesse uma
capacidade infinita.
10) Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é de 1/2
henry e a resistência, 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial é zero.11) Uma força eletromotriz (fem) de 30 volts é aplicada a um circuito em série L − R no qual a
indutância é de 0, 5 henry e a resistência, 50 ohms. Encontre a corrente i(t) se i(0) = 0. Determine
a corrente quando t→∞.
3
12) Uma força eletromotiva de 100 volts é aplicada a um circuito R − C em série no qual a re-
sistência é de 200 ohms e a capacitância, 10−4 farad. Encontre a carga q(t) no capacitor se q(0) = 0.
Encontre a corrente i(t).
13) Uma força eletromotriz (fem) de 200 volts é aplicada a um circuito R − C em série no qual
a resistência é 1000 ohms e a capacitância, 5x10−6 farad. Encontre a carga q(t) no capacitor se
i(0) = 0, 4. Determine a carga quando t→∞.
DADOS A SEREM USADOS
1. Crescimento e Decrescimento
• dQ
dt
= kQ Q(0) = Q0, onde Q0 é a popupação inicial, Q(t) é o número populacional
num instante t e k é a constante de proporcionalidade.
2. Decaimento Radioativo
• dQ
dt
= −rQ Q(0) = Q0, onde Q0 é a quantidade inicial, Q(t) é a quantidade num
instante t e r é a constante de proporcionalidade.
3. Circuito em Série
• Num circuito (L-R) temos: Ldi
dt
+Ri = E(t)
• Num circuito (R-C) temos: Ri + 1
C
q = E(t) e a corrente com a carga estão relacionadas
por i =
dq
dt
. Portanto, R
dq
dt
+
1
C
q = E(t).
• As variáveis são: L é a indutância, i é a corrente, t é o tempo, R é a resistência, E é a
voltagem, q é a carga e C é a capacitância.
4