Uma circunferência com centro no ponto ( )4,1O − tem um diâmetro com uma extremidade no ponto ( )2,6P . Encontrar as coordenadas do ponto que está...

Para encontrar as coordenadas do ponto que está na outra extremidade do diâmetro, podemos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos. Sabemos que o centro da circunferência é o ponto (4,1) e uma extremidade do diâmetro é o ponto (2,6). Para encontrar a outra extremidade, precisamos encontrar um ponto que esteja a mesma distância do centro da circunferência que o ponto (2,6). A distância entre dois pontos pode ser encontrada pela fórmula: d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) Onde (x1, y1) e (x2, y2) são as coordenadas dos pontos. Assim, temos: d = √((2 - 4)² + (6 - 1)²) d = √20 d = 2√5 Como o diâmetro é a distância entre dois pontos na circunferência, temos que a distância entre o ponto (2,6) e o ponto que procuramos é igual a 2√5. Podemos então utilizar a equação da circunferência para encontrar as coordenadas do ponto que procuramos. A equação da circunferência com centro em (4,1) é: (x - 4)² + (y - 1)² = r² Onde r é o raio da circunferência. Como o diâmetro é igual a 2r, temos que r = √5. Substituindo na equação da circunferência, temos: (x - 4)² + (y - 1)² = 5 Agora, podemos utilizar a distância entre dois pontos para encontrar as coordenadas do ponto que procuramos. Sabemos que a distância entre o ponto (2,6) e o ponto que procuramos é igual a 2√5, então temos: √((x - 2)² + (y - 6)²) = 2√5 Simplificando, temos: (x - 2)² + (y - 6)² = 20 Agora, podemos resolver o sistema formado pelas duas equações: (x - 4)² + (y - 1)² = 5 (x - 2)² + (y - 6)² = 20 Uma forma de resolver é isolar uma das variáveis em uma das equações e substituir na outra equação. Por exemplo, podemos isolar x na primeira equação: (x - 4)² + (y - 1)² = 5 x² - 8x + 16 + (y - 1)² = 5 x² - 8x + 12 + (y - 1)² = 0 Agora, podemos substituir x² - 8x + 12 na segunda equação: (x - 2)² + (y - 6)² = 20 (x² - 4x + 4) + (y - 6)² = 20 x² - 4x + (y - 2)² = 16 Temos então o sistema: x² - 8x + 12 + (y - 1)² = 0 x² - 4x + (y - 2)² = 16 Podemos isolar y na segunda equação: x² - 4x + (y - 2)² = 16 (y - 2)² = 16 - x² + 4x y - 2 = ±√(16 - x² + 4x) y = 2 ± √(16 - x² + 4x) Agora, podemos substituir essa expressão para y na primeira equação: x² - 8x + 12 + (2 ± √(16 - x² + 4x) - 1)² = 0 Resolvendo essa equação, encontramos duas soluções: x = 1 + √5 e y = 3 + √5 ou x = 7 - √5 e y = -1 - √5 Portanto, as coordenadas dos pontos que estão nas extremidades do diâmetro são (1 + √5, 3 + √5) e (7 - √5, -1 - √5).