Determine a área da porção S do cilindro x^2 + y^2 = 1 entre os planos z = y e z = 2y. a) Determine a equação da interseção do cilindro com os pl...

a) Para encontrar a interseção do cilindro com os planos z = y e z = 2y, podemos substituir z por y e 2y, respectivamente, na equação do cilindro x^2 + y^2 = 1. Isso nos dá as equações x^2 + y^2 = y e x^2 + y^2 = 2y. Podemos simplificar essas equações para obter y = x^2 e y = x^2 / 2, respectivamente. Igualando essas duas equações, temos x^2 = 2x^2, o que nos dá x = 0. Substituindo x = 0 em qualquer uma das equações acima, obtemos y = 0 e y = 0, respectivamente. Portanto, a interseção do cilindro com os planos z = y e z = 2y é a curva dada por y = x^2, com x variando de -1 a 1. b) Para calcular a área da superfície S, podemos usar a fórmula da área de superfície de um pedaço de superfície de um cilindro, que é dada por A = ∫∫√(1 + (dz/dx)^2 + (dz/dy)^2) dA, onde dA é a área de um elemento de superfície infinitesimal. Neste caso, podemos parametrizar a superfície S como r(x, y) = (x, y, y), com x variando de -1 a 1 e y variando de x^2 a 2x^2. Então, temos dz/dx = 0 e dz/dy = 1. Substituindo esses valores na fórmula acima, obtemos: A = ∫∫√(1 + (dz/dx)^2 + (dz/dy)^2) dA = ∫∫√(1 + 0^2 + 1^2) dA = ∫∫√2 dA Podemos calcular dA como dA = ||∂r/∂x x ∂r/∂y|| dxdy, onde ||∂r/∂x x ∂r/∂y|| é o módulo do produto vetorial dos vetores ∂r/∂x e ∂r/∂y. Temos: ∂r/∂x = (1, 0, 0) ∂r/∂y = (0, 1, 1) Então, ||∂r/∂x x ∂r/∂y|| = ||(-1, 0, 1)|| = √2. Substituindo isso na fórmula acima, obtemos: A = ∫∫√2 dA = ∫_{-1}^{1} ∫_{x^2}^{2x^2} √2 ||∂r/∂x x ∂r/∂y|| dxdy = ∫_{-1}^{1} ∫_{x^2}^{2x^2} 2√2 dxdy = 4√2 ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{y} x dx dy = 4√2 ∫_{0}^{1} y^2/2 dy = 2√2/3 Portanto, a área da superfície S é 2√2/3.