Questão 2 (4,0 pontos) - Calcule, aproximadamente, a área da região situada no primeiro quadrante, delimitada pela interseção entre as curvas g(x) ...

a) Para obter o polinômio interpolador de Newton P(x), podemos utilizar o método das diferenças divididas de Newton. A tabela de diferenças divididas é: | x | f(x) | |---|------| | 0 | 4 | | 1 | 2 | | 2 | 0 | | 3 | 2 | | 4 | 4 | As diferenças divididas de ordem 1 são: f[0,1] = (f[1] - f[0]) / (x[1] - x[0]) = (2 - 4) / (1 - 0) = -2 f[1,2] = (f[2] - f[1]) / (x[2] - x[1]) = (0 - 2) / (2 - 1) = -2 f[2,3] = (f[3] - f[2]) / (x[3] - x[2]) = (2 - 0) / (3 - 2) = 2 f[3,4] = (f[4] - f[3]) / (x[4] - x[3]) = (4 - 2) / (4 - 3) = 2 As diferenças divididas de ordem 2 são: f[0,1,2] = (f[1,2] - f[0,1]) / (x[2] - x[0]) = (-2 - (-2)) / (2 - 0) = 0 f[1,2,3] = (f[2,3] - f[1,2]) / (x[3] - x[1]) = (2 - (-2)) / (3 - 1) = 2 As diferenças divididas de ordem 3 são: f[0,1,2,3] = (f[1,2,3] - f[0,1,2]) / (x[3] - x[0]) = (2 - 0) / (3 - 0) = 2/3 Assim, o polinômio interpolador de Newton P(x) é: P(x) = f[0] + f[0,1](x - x[0]) + f[0,1,2](x - x[0])(x - x[1]) + f[0,1,2,3](x - x[0])(x - x[1])(x - x[2]) P(x) = 4 + 0(x - 0) + 0(x - 0)(x - 1) + (2/3)(x - 0)(x - 1)(x - 2) P(x) = 4 + (2/3)x(x - 1)(x - 2) b) O gráfico das curvas g(x) = -2x + 4 e f(x) é:  A região solicitada é a área em verde, delimitada pelos pontos (0,4), (1,2), (2,0), (3,2) e (4,4). c) Um método de integração numérica que pode ser utilizado é a regra do trapézio. Usando um tabelamento de 6 pontos, com intervalos de tamanho 1, temos: | x | f(x) | |---|------| | 0 | 4 | | 1 | 2 | | 2 | 0 | | 3 | 2 | | 4 | 4 | | 5 | 6 | A área aproximada pode ser calculada por: A ≈ h/2 * [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + 2f(x4) + f(x5)] A ≈ 1/2 * [4 + 2(2) + 2(0) + 2(2) + 2(4) + 6] A ≈ 16 Portanto, a área aproximada da região solicitada é 16 unidades de área.