Determinar os momentos de inércia Ix ;Iy e I0 da região limitada pelas curvas ????2 = 4????, ???? + y = 3 e ???? = 0 no 1º Quadrante. Considere ???? ????, ???? ...

Para determinar os momentos de inércia Ix, Iy e I0 da região limitada pelas curvas ????2 = 4????, ???? + y = 3 e ???? = 0 no 1º Quadrante, podemos utilizar o Teorema de Steiner. Primeiro, precisamos encontrar o centro de massa da região. Para isso, podemos utilizar as fórmulas: x = (1/A) ∫∫ x dA y = (1/A) ∫∫ y dA Onde A é a área da região e as integrais são calculadas sobre a região. Integrando as equações das curvas, encontramos que a região é limitada pelos pontos (0,0), (2,0) e (1,2). Portanto, a área da região é: A = ∫0^2 (3 - x) dx - ∫0^1 2 dx A = 2.5 Calculando as integrais para encontrar o centro de massa, temos: x = (1/2.5) ∫0^2 ∫0^(3-x) x dy dx + (1/2.5) ∫0^1 ∫0^2 x dy dx x = 1.2 y = (1/2.5) ∫0^2 ∫0^(3-x) y dy dx + (1/2.5) ∫0^1 ∫0^2 (3-x) dy dx y = 1.2 Portanto, o centro de massa da região é (1.2, 1.2). Agora, podemos utilizar o Teorema de Steiner para encontrar os momentos de inércia em relação aos eixos x e y: Ix = Icm + A d^2 Iy = Icm + A d^2 Onde Icm é o momento de inércia em relação ao centro de massa e d é a distância entre o centro de massa e o eixo em questão. Para encontrar I0, o momento de inércia em relação ao ponto (0,0), podemos utilizar o Teorema dos Eixos Paralelos: I0 = Icm + A (x^2 + y^2) Substituindo os valores encontrados, temos: Ix = 2.4 + 2.5 (1.2)^2 Ix = 12/5 Iy = 2.4 + 2.5 (1.2)^2 Iy = 46/7 I0 = 2.4 + 2.5 ((1.2)^2 + (1.2)^2) I0 = 8.97 Portanto, os momentos de inércia são Ix = 12/5, Iy = 46/7 e I0 = 8,97.