Determine a equação da hipérbole tal que: a) os focos são F1 (–2, 0) e F2 (2, 0) e dois vértices são A1(–1, 0) e A2(1, 0); b) os vértices do eixo r...

Determine a equação da hipérbole tal que: a) os focos são F1 (–2, 0) e F2 (2, 0) e dois vértices são A1(–1, 0) e A2(1, 0); b) os vértices do eixo real são A1 (0, –6) e A2 (0, 6) e os vértices do eixo imaginário são B1 (4, 0) e B2 (–4, 0).
a
b
a) Fórmula da hipérbole: (x - x0)²/a² - (y - y0)²/b² = 1, onde (x0, y0) é o centro da hipérbole. Como os focos são F1 (–2, 0) e F2 (2, 0), o centro é o ponto médio entre eles, ou seja, (0, 0). Como dois vértices são A1(–1, 0) e A2(1, 0), a distância entre o centro e os vértices no eixo x é a = 1. Como a hipérbole está no eixo x, b = √(c² - a²) = √(4 - 1) = √3. Portanto, a equação da hipérbole é (x - 0)²/1² - (y - 0)²/(√3)² = 1, que pode ser simplificada para 3x² - y² = 3.
b) Fórmula da hipérbole: (x - x0)²/a² - (y - y0)²/b² = 1, onde (x0, y0) é o centro da hipérbole. Como os vértices do eixo real são A1 (0, –6) e A2 (0, 6), o centro é o ponto médio entre eles, ou seja, (0, 0). Como os vértices do eixo imaginário são B1 (4, 0) e B2 (–4, 0), a distância entre o centro e os vértices no eixo y é b = 4. Como a hipérbole está no eixo y, a = √(c² + b²) = √(36 + 16) = 2√13. Portanto, a equação da hipérbole é (x - 0)²/(2√13)² - (y - 0)²/4² = 1, que pode ser simplificada para 13x² - 16y² = 676.