Questão 1 (Valor: 2,5 pontos) Em cada item faça o que se pede. a) Encontre dy dx por derivação impĺıcita para a curva xy + y2 = arctan (x3). b...

a) Para encontrar dy/dx por derivação impĺıcita, precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a x e, em seguida, isolar dy/dx: xy + y² = arctan(x³) Derivando ambos os lados em relação a x: y + x(dy/dx) + 2y(dy/dx) = 1/(1+(x³)²) * 3x² Agora, isolando dy/dx: dy/dx = (3x² - y)/(x + 2y) b) Para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x² + ln(ex) em (1, f(1)), precisamos encontrar a derivada de f(x) e, em seguida, usar a equação da reta tangente: f(x) = x² + ln(ex) f'(x) = 2x + 1 Agora, substituindo x = 1, temos: f'(1) = 2(1) + 1 = 3 A equação da reta tangente é dada por: y - f(1) = f'(1)(x - 1) y - (1² + ln(e)) = 3(x - 1) y = 3x - 1 c) Para encontrar o limite de (cos(x))²/x quando x se aproxima de 0, podemos usar a regra de L'Hôpital: lim x→0 (cos(x))²/x = lim x→0 2cos(x)*(-sin(x))/1 = lim x→0 -2cos(x)sin(x) = 0 Portanto, o limite é igual a 0.