P2. Encontre dy dx por derivação impĺıcita. (a) √xy = 1 + x2y. (b) y x− y = 2 + x2. (c) x2y2 + x sen y = 4. (d) x3 + x2y + 4y2 = 6.

Claro! Vou ajudá-lo a encontrar as derivadas implícitas para cada uma das opções: (a) Para encontrar dy/dx por derivação implícita em √xy = 1 + x^2y, podemos aplicar a regra do quociente e a regra da cadeia. Após derivar ambos os lados da equação em relação a x, obtemos: (1/2) * (x * (dy/dx) + y) / √xy = 2xy + x^2(dy/dx). Simplificando a equação, temos: x(dy/dx) + y / 2√xy = 2xy + x^2(dy/dx). Agora, podemos isolar dy/dx: x(dy/dx) - x^2(dy/dx) = 2xy - y / 2√xy. (dy/dx)(x - x^2) = (2xy - y) / 2√xy. (dy/dx) = (2xy - y) / (2√xy * (x - x^2)). (b) Para y/(x - y) = 2 + x^2, podemos aplicar a regra do quociente e a regra da cadeia. Após derivar ambos os lados da equação em relação a x, obtemos: [(x - y)(dy/dx) - y(1 - dy/dx)] / (x - y)^2 = 2x. Simplificando a equação, temos: (x - y)(dy/dx) - y + y(dy/dx) = 2x(x - y)^2. Agora, podemos isolar dy/dx: (x - y + y)(dy/dx) = 2x(x - y)^2 + y. (dy/dx) = [2x(x - y)^2 + y] / (x - y + y). (dy/dx) = [2x(x - y)^2 + y] / (x - y). (c) Para x^2y^2 + x sen(y) = 4, podemos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. Após derivar ambos os lados da equação em relação a x, obtemos: 2xy^2(dy/dx) + x^2(2y(dy/dx)) + sen(y) + xcos(y)(dy/dx) = 0. Simplificando a equação, temos: 2xy^2(dy/dx) + 2x^2y(dy/dx) + xcos(y)(dy/dx) = -sen(y). Agora, podemos isolar dy/dx: (dy/dx)(2xy^2 + 2x^2y + xcos(y)) = -sen(y). (dy/dx) = -sen(y) / (2xy^2 + 2x^2y + xcos(y)). (d) Para x^3 + x^2y + 4y^2 = 6, podemos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. Após derivar ambos os lados da equação em relação a x, obtemos: 3x^2 + 2xy + x^2(dy/dx) + 8y(dy/dx) = 0. Simplificando a equação, temos: x^2(dy/dx) + 8y(dy/dx) = -3x^2 - 2xy. Agora, podemos isolar dy/dx: (dy/dx)(x^2 + 8y) = -3x^2 - 2xy. (dy/dx) = (-3x^2 - 2xy) / (x^2 + 8y). Espero que isso ajude! Se você tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.