30.Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.

Para determinar o volume do tetraedro, podemos utilizar a fórmula V = (1/3) * A_base * h, onde A_base é a área da base do tetraedro e h é a altura em relação à base. Primeiro, precisamos encontrar os vértices do tetraedro. A partir das equações dos planos, podemos obter: x + 2y + z = 2 => z = 2 - x - 2y x = 2y x = 0 z = 0 Substituindo x por 2y e z por 0 na primeira equação, temos: 2y + 0 = 2 y = 1 Portanto, temos os vértices: (0, 1, 0), (0, 0, 2), (2, 1, 0) e (0, 0, 0). A base do tetraedro é um triângulo equilátero com lados de comprimento 2. Podemos calcular a área da base utilizando a fórmula A_base = (lado^2 * sqrt(3))/4, onde lado = 2: A_base = (2^2 * sqrt(3))/4 = sqrt(3) A altura do tetraedro em relação à base é a distância entre o ponto (1, 0, 1) (que é o baricentro do triângulo equilátero) e o plano x + 2y + z = 2. Podemos calcular essa distância utilizando a fórmula d = |ax + by + cz - d|/sqrt(a^2 + b^2 + c^2), onde (a, b, c) é o vetor normal ao plano e d é a constante da equação do plano: d = |1*1 + 2*0 + 1*(-1) - 2|/sqrt(1^2 + 2^2 + 1^2) = 1/sqrt(6) Assim, o volume do tetraedro é: V = (1/3) * A_base * h = (1/3) * sqrt(3) * (1/sqrt(6)) = sqrt(2)/6 Portanto, o volume do tetraedro é sqrt(2)/6.