46.. Calcule a área da superfície que se estende verticalmente desde o círculo x2 + y2 = 1 no plano xy até o cilindro parabólico z = 1 – x2.

Para calcular a área da superfície que se estende verticalmente desde o círculo x² + y² = 1 no plano xy até o cilindro parabólico z = 1 - x², podemos utilizar a fórmula da área de superfície: S = ∫∫√(1 + (dz/dx)² + (dz/dy)²) dA Onde dA é a área infinitesimal na superfície e as integrais são realizadas sobre a projeção do domínio da superfície no plano xy. Para este problema, podemos parametrizar a superfície como: r(x,y) = (x, y, 1 - x²) Então, podemos calcular as derivadas parciais dz/dx e dz/dy: dz/dx = -2x dz/dy = 0 Substituindo na fórmula da área de superfície, temos: S = ∫∫√(1 + 4x²) dA A projeção do domínio da superfície no plano xy é o círculo x² + y² = 1. Podemos utilizar coordenadas polares para realizar a integração: S = ∫[0,2π]∫[0,1] √(1 + 4r²cos²θ) r dr dθ Infelizmente, a integração analítica desta expressão é bastante complexa e não pode ser resolvida de forma direta. Portanto, a solução pode ser obtida por meio de métodos numéricos ou aproximações.