Mostre que ‖−→u−−→v‖≥|‖−→u‖−‖−→v‖|, para quaisquer vetores −→u e −→v do plano. (Sugestão: Use a desigualdade triangular.)

Podemos usar a desigualdade triangular para provar que ‖−→u−−→v‖≥|‖−→u‖−‖−→v‖|. Pela desigualdade triangular, temos que: ‖−→u−−→v‖ ≤ ‖−→u‖ + ‖−→v‖ ‖−→u−−→v‖ - ‖−→v‖ ≤ ‖−→u‖ |‖−→u−−→v‖ - ‖−→v‖| ≤ ‖−→u‖ Da mesma forma, temos que: ‖−→u−−→v‖ ≤ ‖−→v‖ + ‖−→u‖ ‖−→u−−→v‖ - ‖−→u‖ ≤ ‖−→v‖ |‖−→u−−→v‖ - ‖−→u‖| ≤ ‖−→v‖ Portanto, temos que: |‖−→u−−→v‖ - ‖−→u‖| ≤ ‖−→v‖ e |‖−→u−−→v‖ - ‖−→v‖| ≤ ‖−→u‖ Somando as duas desigualdades, temos: |‖−→u−−→v‖ - ‖−→u‖| + |‖−→u−−→v‖ - ‖−→v‖| ≤ ‖−→u‖ + ‖−→v‖ Ou seja, |‖−→u−−→v‖ - ‖−→u‖ + |‖−→u−−→v‖ - ‖−→v‖| ≤ ‖−→u‖ + ‖−→v‖ E, pela desigualdade triangular, temos que: |‖−→u−−→v‖ - ‖−→u‖ + |‖−→u−−→v‖ - ‖−→v‖| ≥ ‖‖−→u−−→v‖ - (‖−→u‖ + ‖−→v‖)‖| Ou seja, |‖−→u−−→v‖ - ‖−→u‖ - ‖−→v‖ + |‖−→u−−→v‖ - ‖−→v‖| ≥ |‖−→u−−→v‖ - ‖−→u‖ - ‖−→v‖| E, como ‖−→u−−→v‖ - ‖−→u‖ - ‖−→v‖ = |‖−→u‖ - ‖−→v‖|, temos que: |‖−→u−−→v‖ - ‖−→v‖| ≥ |‖−→u‖ - ‖−→v‖| Portanto, ‖−→u−−→v‖≥|‖−→u‖−‖−→v‖| para quaisquer vetores −→u e −→v do plano.