Calcule as seguintes integrais: (a) ∫sen(5x) cos(3x)dx ( aplique integração por partes duas vezes ) (b) ∫x3√1+ x2 dx ( fatore x3 convenientemente...

(a) Para calcular a integral ∫sen(5x) cos(3x)dx, vamos aplicar a integração por partes duas vezes. Primeiro, escolhemos u = sen(5x) e dv = cos(3x)dx. Então, temos du/dx = 5cos(5x) e v = (1/3)sen(3x). Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫sen(5x) cos(3x)dx = (1/3)sen(5x)sen(3x) - (5/3)∫cos(5x)sen(3x)dx Agora, escolhemos u = cos(5x) e dv = sen(3x)dx. Então, temos du/dx = -5sen(5x) e v = (-1/3)cos(3x). Aplicando a fórmula de integração por partes novamente, temos: ∫sen(5x) cos(3x)dx = (1/3)sen(5x)sen(3x) - (5/3)[(-1/3)cos(5x)cos(3x) - (1/9)∫sen(5x)cos(3x)dx] Simplificando, temos: ∫sen(5x) cos(3x)dx = (1/3)sen(5x)sen(3x) + (5/9)cos(5x)cos(3x) - (5/27)∫sen(5x)cos(3x)dx Isolando a integral no lado esquerdo, temos: (28/27)∫sen(5x) cos(3x)dx = (1/3)sen(5x)sen(3x) + (5/9)cos(5x)cos(3x) Portanto, a solução para a integral é: ∫sen(5x) cos(3x)dx = (27/28)[(1/3)sen(5x)sen(3x) + (5/9)cos(5x)cos(3x)] + C, onde C é a constante de integração. (b) Para calcular a integral ∫x^3√(1+x^2)dx, podemos fazer a substituição u = 1+x^2. Então, temos du/dx = 2x e dx = du/2x. Substituindo na integral, temos: ∫x^3√(1+x^2)dx = (1/2)∫u^(1/2)xdu Fatorando x^3, temos: ∫x^3√(1+x^2)dx = (1/2)∫x^2u^(1/2)dx Substituindo u = 1+x^2 novamente, temos: ∫x^3√(1+x^2)dx = (1/2)∫(u-1)u^(1/2)dx Expandindo o integrando, temos: ∫x^3√(1+x^2)dx = (1/2)∫(u^(3/2) - u^(1/2))dx Integrando, temos: ∫x^3√(1+x^2)dx = (1/2)[(2/5)(1+x^2)^(5/2) - (2/3)(1+x^2)^(3/2)] + C, onde C é a constante de integração.