Determine os valores próprios e os vetores próprios da seguinte transformação linear: T: IR² -> IR², T (x, y) = (y, -x). Assinale a alternativa cor...

Para determinar os valores próprios e vetores próprios da transformação linear T: IR² -> IR², T (x, y) = (y, -x), podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar os valores próprios λ que satisfazem a equação T(v) = λv, onde v é um vetor não nulo em IR². 2. Para cada valor próprio λ encontrado, encontrar os vetores próprios v que satisfazem a equação T(v) = λv. Substituindo T(x, y) = (y, -x) na equação T(v) = λv, temos: (y, -x) = λ(x, y) Isso nos dá o seguinte sistema de equações: y = λx -x = λy Podemos reescrever esse sistema na forma matricial: | 0 1 | | x | | λx | | -1 0 | * | y | = | λy | Para que a matriz acima tenha solução não trivial, seu determinante deve ser igual a zero: det | λ -1 | | 1 λ | = λ² + 1 = 0 Portanto, os valores próprios são λ = ±i, onde i é a unidade imaginária. Para encontrar os vetores próprios correspondentes, substituímos λ = ±i na equação do sistema acima e resolvemos para x e y. Para λ = i, temos: | 0 1 | | x | | i x | | -1 0 | * | y | = | i y | O que nos dá o seguinte sistema de equações: y = ix -x = iy A segunda equação pode ser reescrita como x = -iy e substituída na primeira equação, resultando em y = -x/i. Portanto, um vetor próprio correspondente a λ = i é qualquer vetor não nulo da forma v = (x, -ix), onde x é um número real não nulo. Da mesma forma, para λ = -i, temos: | 0 1 | | x | | -i x | | -1 0 | * | y | = | -i y | O que nos dá o seguinte sistema de equações: y = -ix -x = -iy A segunda equação pode ser reescrita como x = y e substituída na primeira equação, resultando em y = -x/i. Portanto, um vetor próprio correspondente a λ = -i é qualquer vetor não nulo da forma v = (x, x/i), onde x é um número real não nulo. Assim, a alternativa correta é a letra D) λ = ±i, v = (x, -ix) para λ = i e v = (x, x/i) para λ = -i.