Considere um, triângulo XYZ retângulo em X, onde XY-2a+3, XZ-3y-4 je YZ=y+5. Qual é o perímetro do triângulo XYZ?

Para encontrar o perímetro do triângulo XYZ, precisamos encontrar o comprimento de cada lado. Sabemos que XY = 2a + 3 e XZ = 3y + 4, e que YZ = y + 5. Usando o teorema de Pitágoras, podemos encontrar o valor de XY: (2a + 3)² = XZ² + YZ² (2a + 3)² = (3y + 4)² + (y + 5)² 4a² + 12a + 9 = 9y² + 24y + 17 Usando a equação YZ = y + 5, podemos isolar o valor de y: y = YZ - 5 Substituindo y na equação anterior, temos: 4a² + 12a + 9 = 9(YZ - 5)² + 24(YZ - 5) + 17 Simplificando: 4a² + 12a + 9 = 9YZ² - 90YZ + 284 9YZ² - 90YZ + 275 - 4a² - 12a = 0 Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de YZ: YZ = [90 ± √(90² - 4(9)(275 - 4a² - 12a))]/(2(9)) YZ = [90 ± √(8100 - 9960 + 36a² + 96a)]/18 YZ = [90 ± √(36a² + 96a - 1860)]/18 YZ = [90 ± 6√(4a² + 12a - 155)]/18 YZ = 5 ± √(4a² + 12a - 155)/3 Como o triângulo é retângulo em X, podemos usar o teorema de Pitágoras novamente para encontrar o valor de YZ: YZ² = XY² + XZ² (YZ - 5)² = (2a + 3)² + (3y + 4)² Substituindo y por 5 + √(4a² + 12a - 155)/3, temos: (YZ - 5)² = (2a + 3)² + (3(5 + √(4a² + 12a - 155)/3) + 4)² Simplificando: (YZ - 5)² = 4a² + 12a + 9 + 9(4a² + 12a - 155)/9 + 2(3(5 + √(4a² + 12a - 155)/3) + 4)(4a² + 12a - 155)/9 + 16 (YZ - 5)² = 4a² + 12a + 9 + 4a² + 12a - 155 + 2(5 + √(4a² + 12a - 155))(4a² + 12a - 155)/3 + 16 (YZ - 5)² = 8a² + 24a - 72 + 2(5 + √(4a² + 12a - 155))(4a² + 12a - 155)/3 (YZ - 5)² = 8a² + 24a - 72 + (40a² + 120a - 310√(4a² + 12a - 155) - 775)/3 Multiplicando tudo por 3: 3(YZ - 5)² = 24a² + 72a - 216 + 40a² + 120a - 310√(4a² + 12a - 155) - 775 3(YZ - 5)² = 64a² + 192a - 991 - 310√(4a² + 12a - 155) (YZ - 5)² = (64a² + 192a - 991 - 310√(4a² + 12a - 155))/3 YZ - 5 = ±√((64a² + 192a - 991 - 310√(4a² + 12a - 155))/3) YZ = 5 ± √((64a² + 192a - 991 - 310√(4a² + 12a - 155))/3) Agora que temos o valor de YZ, podemos encontrar o valor do perímetro: Perímetro = XY + XZ + YZ Perímetro = 2a + 3 + 3y + 4 + y + 5 Perímetro = 2a + 4y + 12 Perímetro = 2a + 4(YZ - 5) + 12 Perímetro = 2a + 4(5 ± √(4a² + 12a - 155)/3) + 12 Portanto, o perímetro do triângulo XYZ é 8a/3 + 32/3 ± 4√(4a² + 12a - 155)/3.