Sabendo que ℤ5 = {0 ̅,1 ̅,2 ̅,3 ̅,4 ̅}, com as operações ????̅ + ???? ̅ = ???? + ???? ̅̅̅̅̅̅̅ e ????̅. ???? ̅ = ????. ???? é um anel, mostre que ???? = {0 ̅,1 ̅,2 ...

Para mostrar que ???? = {0 ̅,1 ̅,2 ̅} não é um subanel de ℤ5, precisamos encontrar pelo menos uma das propriedades que não é satisfeita. Para ser um subanel, ???? deve ser um subconjunto de ℤ5 que é fechado sob as operações de adição e multiplicação, e deve conter o elemento neutro para a adição e ser fechado sob inversos aditivos. Vamos verificar se ???? satisfaz essas propriedades: 1. Fechamento sob adição: 0 ̅ + 1 ̅ = 1 ̅ ∈ ????, mas 1 ̅ + 2 ̅ = 3 ̅ ∉ ???? (não está em ????), portanto, ???? não é fechado sob adição. 2. Fechamento sob multiplicação: 1 ̅ . 1 ̅ = 1 ̅, 1 ̅ . 2 ̅ = 2 ̅, 2 ̅ . 2 ̅ = 4 ̅, mas 4 ̅ ∉ ???? (não está em ????), portanto, ???? não é fechado sob multiplicação. 3. Elemento neutro para adição: 0 ̅ ∈ ????, pois 0 ̅ + 0 ̅ = 0 ̅, mas 3 ̅ ∉ ???? (não está em ????), portanto, ???? não contém o elemento neutro para adição. 4. Inversos aditivos: 0 ̅ tem inverso aditivo em ℤ5, que é ele mesmo, mas 1 ̅ não tem inverso aditivo em ℤ5, pois não existe nenhum elemento em ℤ5 que somado a 1 ̅ resulte em 0 ̅. Portanto, ???? não é fechado sob inversos aditivos. Como ???? não satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um subanel de ℤ5, podemos concluir que ???? = {0 ̅,1 ̅,2 ̅} não é um subanel de ℤ5.