A área compreendida entre a reta Υ= 2 e a curva Υ= x2 – 2 é

Para encontrar a área compreendida entre a reta \( y = 2 \) e a curva \( y = x^2 - 2 \), siga os passos abaixo: 1. Encontrar os pontos de interseção: Igualamos as duas equações: \[ 2 = x^2 - 2 \] \[ x^2 = 4 \implies x = -2 \text{ e } x = 2 \] 2. Configurar a integral: A área entre as curvas é dada pela integral da diferença entre a reta e a curva, de \( x = -2 \) a \( x = 2 \): \[ A = \int_{-2}^{2} (2 - (x^2 - 2)) \, dx \] Simplificando a expressão dentro da integral: \[ A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx \] 3. Calcular a integral: \[ A = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} \] 4. Avaliar os limites: \[ A = \left( 4(2) - \frac{(2)^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) \] \[ = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) \] \[ = \left( 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} \right) \] \[ = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48}{3} - \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \] Portanto, a área compreendida entre a reta \( y = 2 \) e a curva \( y = x^2 - 2 \) é \( \frac{32}{3} \) unidades quadradas.