Seja Q uma matriz 4 x 4 tal que det Q = 0 e Q3 + 2Q2 = 0. Calcule det Q a) det Q = 10 b) det Q = 12 c) det Q = 14 d) det Q = 16 e) det Q = 18 ...

Podemos utilizar a equação Q3 + 2Q2 = 0 para encontrar o determinante de Q. Começamos multiplicando a equação por Q: Q(Q3 + 2Q2) = Q0 Q4 + 2Q3 = 0 Agora podemos utilizar a fórmula de Laplace para calcular o determinante de Q: det(Q) = Σ (-1)i+j * qij * det(Qij) Onde i e j são as linhas e colunas da matriz, qij é o elemento da matriz na linha i e coluna j e det(Qij) é o determinante da submatriz obtida ao remover a linha i e coluna j da matriz Q. Como det(Q) = 0, podemos concluir que pelo menos uma das linhas ou colunas de Q é uma combinação linear das outras três. Portanto, podemos escolher uma linha ou coluna de Q para calcular o determinante. Vamos escolher a primeira linha de Q: det(Q) = (-1)1+1 * q11 * det(Q11) + (-1)1+2 * q12 * det(Q12) + (-1)1+3 * q13 * det(Q13) + (-1)1+4 * q14 * det(Q14) det(Q) = q11 * det(Q11) - q12 * det(Q12) + q13 * det(Q13) - q14 * det(Q14) Como det(Q) = 0, temos: q11 * det(Q11) - q12 * det(Q12) + q13 * det(Q13) - q14 * det(Q14) = 0 Podemos escolher q11 como pivô e utilizar operações elementares de linha para transformar a matriz Q em uma matriz triangular superior: [ q11 q12 q13 q14 ] [ 0 q22 q23 q24 ] [ 0 0 q33 q34 ] [ 0 0 0 q44 ] Como a matriz é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal: det(Q) = q11 * q22 * q33 * q44 Agora podemos utilizar a equação Q3 + 2Q2 = 0 para encontrar q44 em termos dos outros elementos da matriz: Q3 + 2Q2 = 0 QQQ + 2QQ = 0 Q4 + 2Q3 = 0 q11 * q22 * q33 * (-q11 - 2q22) = 0 Como det(Q) = 0, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Como q11 ≠ 0 (pois escolhemos q11 como pivô), temos: q22 * q33 * (-q11 - 2q22) = 0 Se q22 = 0, então det(Q) = 0, o que não é possível. Portanto, q22 ≠ 0 e podemos dividir ambos os lados da equação por q22: q33 * (-q11 - 2q22) = 0 Se q33 = 0, então det(Q) = 0, o que não é possível. Portanto, q33 ≠ 0 e podemos dividir ambos os lados da equação por q33: -q11 - 2q22 = 0 q22 = (-1/2)q11 Substituindo em det(Q) = q11 * q22 * q33 * q44, temos: det(Q) = q11 * (-1/2)q11 * q33 * q44 det(Q) = (-1/2)q11^2 * q33 * q44 Como det(Q) = 0, temos: (-1/2)q11^2 * q33 * q44 = 0 Como q33 ≠ 0, temos: (-1/2)q11^2 * q44 = 0 Como q11 ≠ 0, temos: q44 = 0 Substituindo em det(Q) = q11 * q22 * q33 * q44, temos: det(Q) = 0 Portanto, a alternativa correta é letra E) det Q = 18.