20. (Maio 1998) Cada um dos seis segmentos da figura abaixo deve ser pintado de uma de quatro cores de modo que segmentos vizinhos não tenham a me...

Para resolver esse problema, podemos usar o Princípio da Multiplicação. Como cada segmento pode ser pintado com uma das quatro cores, temos 4 opções para o primeiro segmento, 4 opções para o segundo segmento, e assim por diante. Portanto, o número total de maneiras de pintar os seis segmentos é: 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 4^6 = 4096 No entanto, algumas dessas maneiras não atendem à condição de que segmentos vizinhos não podem ter a mesma cor. Para contar o número de maneiras que atendem a essa condição, podemos usar o Princípio da Adição. Podemos dividir as possibilidades em dois casos: aqueles em que os segmentos 1 e 2 têm cores diferentes, e aqueles em que eles têm a mesma cor. Caso 1: Os segmentos 1 e 2 têm cores diferentes Nesse caso, temos 4 opções para o primeiro segmento e 3 opções para o segundo segmento (pois não pode ter a mesma cor que o primeiro). Para os segmentos restantes, temos 3 opções cada (pois não podem ter a mesma cor que o segmento anterior). Portanto, o número total de maneiras de pintar os seis segmentos nesse caso é: 4 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 972 Caso 2: Os segmentos 1 e 2 têm a mesma cor Nesse caso, temos 4 opções para a cor dos segmentos 1 e 2. Para os segmentos restantes, temos 3 opções cada. Portanto, o número total de maneiras de pintar os seis segmentos nesse caso é: 4 x 3 x 3 x 3 x 3 x 1 = 324 O número total de maneiras de pintar os seis segmentos de modo que segmentos vizinhos não tenham a mesma cor é a soma dos casos 1 e 2: 972 + 324 = 1296 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 1296.