Na figura está representado um hexágono regular, BCDEFG, inscrito numa circunferência de centro A e raio AB. Sabendo que A –B = √#3 cm e A–H = 2 cm...

Para determinar a área sombreada, precisamos primeiro encontrar a área do setor circular AHB e a área do hexágono regular. Sabemos que A-B = √3 cm e A-H = 2 cm. Como o hexágono é regular, cada um dos seis triângulos equiláteros que o compõem tem lados iguais a AB. Portanto, o lado de cada triângulo é AB = A-B = √3 cm. A área de um triângulo equilátero de lado L é L²√3/4. Substituindo L por AB, temos: Área de um triângulo equilátero = AB²√3/4 = (√3)²√3/4 = 3√3/4 cm² A área do hexágono regular é 6 vezes a área de um triângulo equilátero de lado AB. Portanto: Área do hexágono regular = 6 x 3√3/4 = 9√3 cm² Para encontrar a área do setor circular AHB, precisamos primeiro encontrar o ângulo central correspondente a esse setor. Como o hexágono é regular, o ângulo central correspondente a cada um dos seis setores circulares congruentes é de 60 graus. O ângulo AHB é formado por dois desses ângulos centrais, portanto: Ângulo AHB = 2 x 60 = 120 graus A área do setor circular AHB é dada por: Área do setor circular AHB = (Ângulo AHB/360) x πr² Substituindo o valor do ângulo e do raio, temos: Área do setor circular AHB = (120/360) x π x (A-H)² = (1/3) x π x 2² = (4/3)π cm² A área sombreada é a diferença entre a área do setor circular AHB e a área do hexágono regular. Portanto: Área sombreada = Área do setor circular AHB - Área do hexágono regular Área sombreada = (4/3)π - 9√3 cm² Esta é a área sombreada em função de π e √3.