Elon Lages Lima - Análise Real Exercícios + Soluçôes) 2(2004, IMPA)

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36 Topologiil do Esp;iço Euclidiano C1p. 1 
sendo O o âugulo ele eixo OX com o scgrnculo Oz, z = (x, y). Assilll, 
ternos lirn n(:i;,y) :-=::Q e lf(:c,y)! ~ l, logu lirn 9(:r,.y) =O. <J 
(:z:,y)-t(ü,O) (:q1)->(0,0) _ 
Agora que j:t vimos ser lim (f(x) - f(x)) = li1n f(x) - li111 u(:r), 
:t"-}lt '.J"-}ft X-}LL 
podemos dcrnonsLrar a s~guiulc con::>eqiiê11L:ia tio 'l'con;1ua '.!.7: 
/ 
Teorema 32 (Pennauência da desigualdade). Scjmn f,u: X___, IR: 
definidas no conjwilo X C b'.\'."' e a ·um punlu de ILUlllL'llla~:uo ele X. Se 
f(x) ~ g(x) pma ludo :i; E X e c:âslem li111 J(:i:) e li111 u(:c) c·1tlilu lem-se 
x-H1 :c-ru 
lim f(x) ~ li111 g(:i:). 
x-7a x-Ta 
\ 
Demonstração. Se ro~.')C o co11Lrário, li111 f(:c) >f lilll 9(:r), tería111os 
.... :.t.:-}lt :.c--t(L 
lim (j(x)- g(x)) >O e euLiio, pelo 'I'eorcma :27, v<t!eria f(:c) > g(:c) parn 
x-7a 
todo x E X suíicic11tc1ueutc próximo de a, u111a coulradi(;ão. 
12 Exercícios 
Seção 1: O e:; paço cucl idhmo n-dirneusiunal 
1. Se !·u +vi= !ui+ !ui"""'.,, f. O, prnve q11c exisLe n .'.'.:li Lili que v ""1t · H. 
2. Scja1n :z:, y, z E IH." taio que (na uor!lla euclidia11a) l:i:: - z/ = !:r - ui ·I· 
IY - z/. Prove que existe l E [ü, !) tal que y ~- (L -- l)x + lz. ~·lusLre <pie 
isto seria rabo 11a:; rwrnws do rnáxirno e da sul!1a. 
3. Sejam :c,y E ll{" ni'w-u11los. Se lodo z E ll{" cp1e é urL()gu11al a :i: i'ur L;u11l"'"' 
orlogonal a y, pruve q11e :i: e y siio rnülLiplus 11111 du out1·0. 
'L Se lx/ = IYI. prove que z = ~ (:i: + y) é urlogounl a !J -- x. (/\ mcdiaua de u1n 
trifü1gulu isóscele~ é l<1111Lé11~ allurn.) 
Seção 2: l3olas e conjuntos iiutitados 
1. Dados a '/ u cm H" delermi11e e, pcrlenccnle it rela u/J, L;ti q11c e J_ (u - a). 
Conclua que para ludo x E au, co111 ,; J c, l.e111-sc lcj < /LI. folerprde 
gc:o1neLric<1111cutc.;. 
2. Sejam /:i:/ = /y/ = r. Se O< l < 1, prove q11c l(l - l):c ·l lyl < '" Cu11cl11;c que 
a esfera S(O; r) não contém scgmeulos de rela. 
3. Sejam a, u E IR" tais que Irri< lu/. Prove q11c, 1»11a Lodu po11Lo .i: du sq;111enl1J 
[a, uj, difcre11le de a e de b, t..:H1-sc l«I < /:r/ < /li!. 
4. Prove q11e o co11j1111Lu .\ "'{(:r,y) E llt°";x·i :=; y} é rn11ve~o. 
5. Seja T: l!t"' -> l!l." 11111a trn11sfonu<tr,:iio linear. Prove: q11e se 'J' 0 O e11tiio 'J' 11ão 
é uma aplicação limitada. Se X e IR" 6 u111 cu11ju11lo ·li111iLaclu, prove que a 
restrição 1'.,: X --t ll~" de 7' ao co11ju11Lo X é 11111a aplicaç:\o li111iLada. 
5eçi'io 12 Exercícios 37 
\ 
Scç;J.n 3: Conj1111.t.ns nh"rl.os 
1. P;tril l.ndo conj1111f.o X C IR"', prov" fJllC int.X f. 11111 cn11j1111t.o aberto, isto-é, 
int.int. X = i11t.X. 
2. PrO\'C fjllC i11t ..... Y r~ p 111:1101" conjunl.o .1hcr!.o cn11l.ido i:111 )( 1 011 seja} se A é 
"h"rf.o e ;\ C X rnt.iio ;\e inLX. 
J. Dê cxcrnplo rk 11111 conj1111f.o X C IR" c11j;i fr1•11lrirn tr111 i11f.rrior niío-v<lzio e 
prove q11c isl.n 11iío seri;i po.,sívcl se X ínssc nlH·rf.o. 
,1, Seja 7r;: !R" -) IR a prnjeçiio sobre n i-ési111a coordc11,1rh, isto ~, se ~: = 
(~:,, ... , x,,) c11t.~o 7r,(.T) = :e;. Prnvc q11c se 11 C IR:" é ;tlierl.o entiio s11;i 
projeç;\o 7r;(1l) e IR tarnhé111 é lllTl conj1111f.n nl>rTl.o. 
5. Provr. qne f.0cl;i. r:olf'çii.o dr. ílb'crLos dois a dnis disj1111t.os e 11iin~vílr,ins c1n IRª é 
cn111ncrf\vcl. 
Seção 1: S,-,qiiêncins cm IR!" 
1. Daria a S<'íJÍÍr:ncia (J:k)k(N cm IR", s<'jnm f\I' e l'-1" s1il1cn11j1111\.os infi11itos de N 
t:iis q11e 1"1 = l\l'Ul'l". Se ils wbscciüêncí:is (i:k)ufl' e (:q.)i·frl'' convergem para 
o 111c::;1110 lin1ilc a, prnvc fJllD liJn Xk == n. 
kEll 
2. Di1da a ~Cífiir.11riíl (~1:1. )~·t=ri f!lrl IRn, prove q111: ;1s sq~11i11l.c8 aflnnnçõcs são ccp1i-
vale11Lcs: 
li111 jo:i.-/ '" ·f~'XJ 
k -~ 0<J 
(li) (:r.i-)1"''' 11~0 poss11i s1il1seriiiê11ci;is cn11vcr>:•·11l.r:s 
(r.) Par;i c;irl;i r:onj1111\o limif.;irlo X e IR"'() cn11j11nt.o Ns =(!.:E f\l; Xk E X) 
0. linif.o. 
3. Sejam 11 C IR" nlirrl.o e a E A. Prove ritte se li111 1:i- =o. r:nLi\o existe k 0 E f\l 
/.,; - ~--..::; 
!.<ti q11c /.; > ko => :r., '= A. 
•I. Se a E rr .X, prm-c q11c <'xislcm seciiiC,11ci:is de l'""\.ns 1:k E X e )Jk E IR" - X 
{.ais íJllC lim :r.i-. = li111 ?/k = n.. Villc ;i recíproca'/ 
Scçiio 5· C.nnj11ntos fcr.h;,dos 
J. Para fJ1taisri11r:r X, y e lll:'', prove q11e X u y '" X u V e X n y e X n Y. Dê 
urn exemplo onrlc 11~0 vale X n Y =X n V. 
2. Diz-sr q11c o ponf.o n. E IR" é valor de n.rlcri'ru:ilL ria scriiir.11rin (:q)ko1 íJtHrnUo 
n é linril.e de algttrna s11liscqiiê>11cin de (:r.k ). l'rrv<í q11e o conj1111Lo rios valores 
rir: aderência rlc q11alri11cr scqiii'~ncia é íecl1nrlo. rl'. 
3. Pnwr rp1r: lll1l co11j1111f.o A e IR" é ;ilirrl.o '"· ,. SOJllellln sr:, A n X e A n X 
para !.orlo X e IR". 
'1. Se X e IR"' e y e IR", prove q11r se tr:nr X X 1· . X:< y Clll u~m+n_ 
5. Prove q11r X e IR" é fcrlr:irlo se, e sn11wnt.c SI' X :::> ír.X. Por 0111.rn hdo, 
A e IR" r, nlicrt.o sr., e so1ne11lc se, A n fr.11 = 0. 
38 Topologi;;i do Esp;iço Euclidi;;ino Cap. 1 
G. Sejam A, 1J C IR" cuuj1111lus limitados disjuulus e não-''ª"ius. Se d(A, lJ) = ü, 
prove que exislc x E fr.il n fr.IJ. 
7. Prove que u fcchu Je 11111 co11juulu cu11vexo é cunvexu. / 
8. Prove que se C C lll:." é convexo e fechado, e11Lão !""°'' lodo x E ifl:", existe u111 
único x = J(x) E C tal que d(x, C) = J:c - :éj. 
~ 
Seção (i: Col1ju11tos cum1)actus 
1. Seja J( e ll{" COlllJ><tCLU, uúo-vnzio. Prove <jllC exislem x,y E 1í lais que 
lx - YI = diar11.J\. 
2. Se toda cobertura al,crlJ de urn conjuulo X C lll:." admite 11111;i sul1cooerlm" 
íinila, prove que X é cornpaclo. 
3. Seja (xk) uma seqiiê11<iá limitada ern ll<!." que pos:rni lllll ú11icu valor de <tCle-
rência. Provo que (x,1,;) é convergente. Dê cxc1Hplo de u1ua seq11êucia (ui:i.o-
lifnitada) 1úiu-couvergc11le que lcm u111 ú11ico valor de aderê11ci«. 
4. Se f( e u e lll:."' COlll [{ Cülllpaclu e u aoerlu, pruve que existe t: > o Lal que 
xEf(,yEIR", j:c-y/<t:~[x,yjcU. 
5. Seja X C H~" lal que, pilrn Lodo compacto J{ C ll{", " i11Lcrscçiio X n /( é 
compacta. Prove que .\ é fediado. 
Seção 7: Aplicuções colltínuus 
1. Seja/: H{"' -> Ht" cu11t.í11u'1. Prove que ilS sl:g11i11lcs co11di1;õcs süu e<p1ivak11lcs: 
(a) Para tudo COlllJlilclo J< e W'' a irnagelll inversa r- 1 (1\) e IR"' é CUlll-
paclu. 
(b) Se (x,1.,:) 6 lt111a seqiiêucia c111 1R 1" scr11 sulJ.seqii(~nci,L'i co11vl!rget1Ll!s 1 () 11H.:s-
1110 se dá com n seqüêucia (f(xk)) crn JH:". (Ou scjil, Ji111 x~ = = =;-
li111 /(xk) = co.) 
2. Prove que um puli11ô111iu complexo 11ão-co11sla11Lc µ( z) = uo + 11 1 z + · · · + a,.z", 
co11siJcraJu como 11111a aplicação p: H{' -> llf", u1111prc 11111a das (porLwto 
amuas) cornlic;õcs do excrdciu a11lcrior. 
3. Seja111 X t: llt'", ]{e Ili:" w111pacLo e J: X X](--> ~t 1 ' c.:011Lí11ua. Supu11ha que, 
para cadil :e E X, cxisla 11111 ú11icu y E /\ l•d que J(~:,y) =O. Prnvc q11e !J 
depc11dc co11ti1111;rnie11le de x. 
4. ScjuJ( e lll'." COlllflilCLU. Provcq11caprujc~iiu1r: ll{"'xlll:." -> IH:"', rr(:1:,y) = :i:, 
transforurn lodo su!Jco11j1111l.o recitado F e llt"' X /í 1111111 co11j1111lo J'cchadu 
rr(P) C IR"'. Dê cxc111plo cJe P C ll{'" x IH:" fecl1adu Lal que rr(F) C lit'" 11:1.u 
seja fechado. 
Seção 8: Continuidade uniforme 
l. Scjant F,G e lll'." l'ccl1ados disjuntos não-vaz'1os. 1\ f11111.J10 WllLÍtlllCl J· IR" -) 
[o ) 1 1 .. J /( ) il(:c, P) ( /' , l, te 11111. il por :e "= r11111pn.: f :i:) =O p<tr<.l lodu :.i; E ' 
d(1:, P) + d(x, G) 
e /(:e)= l parn Lodo :e e G. Ela se cl1a111a a f1rnçtiu de Urysofw do par (F, C). 
Prove que se ela é u11ifun11c111c11lc conLÍ1111a, enLiio il(F, C:) >O. 
Seç5o 12 Exercícios 39 
2. Seja Y C X C IR"' ~0111 Y denso cm X. Se " aplicaçiin conl.ír111<l J: X -; IR" é 
t.al fJllC s11" rcst.riç;"lo fjlr e: 1111i[orrne111cnl.e co11l.í111111., prnve f)llC J é 1111iforme-
rnc11Lc contínua. , 
:i. Scjct X e IP:"' 11rn cc~1j11nl.o limii.arlo. Se f: X-> IR" é 1111i[onnemc11t.c contínua, 
prove q11c J(X) C IR" também é limil.;ido. 
'1. Scja111 f,.'J: X ->IR 1111iorrncmc11l.cconlín11a.s 110 conj11nl.o X C IR"'. Prove 
que a som.< J + ·'': ,'( __, ll~ é 11nifor111c111c11t.c co11l.Í1n1a e o 111esmo se dá co1n 0 
prnd11l.o f · q: X-> IH: caso J e .'l sejam li111il.acl:1.'. 
5. Seja e e Jf.I:" convexo. Se X E IR" e :r. E e siin l.;iis q11c i:i: - xl = r/(1:, C), prove 
q11c (:i: - :f:' y - :í:) ::; o p;H;i. 1.odo ?J E e. 
G. D:irln C C lll:" convexo r fcd1arlo, seja f: 11-l:." -> (,' dcfinidn por .f(:i:) = x, 011de :f: 
ó o único ponl.o rlc C Lili q11c j.7: -:f:j = rl(x, C:). l'rovc 1111e lf (x)- J(u)I :S lx-yl 
pnr<l f)1t11.isq11cr :i:, y = IR", lo[';O J é n11ifor111cmc11t.c conl.í1111n. 
Steçiio !J: Homeomorfismos 
1. Chnrna-sc s~mi-rr.l.1L ele ori[';cm íl cm fll'." a n111 co11j11nt.o do t.ipo a 
{l.1.•; l ;::: O, O c/c 11 E IR"}. Seja X e IR" - {O} 11m cnnj1111l.o compacto que 
l.cm 11m (1í11ico) pnnt.o cm com11111 r;om cndi1. sr111i-r.-,l.n com oriµ;cm O. Prove 
q1ir. ){ {~ lio111co111nrfo 1t esfera S" - 1• 
2. Es1.alielcçi1. lllll ho111comorfis1no entre IR" - {O} "o prorlnl.o cartcsiil.110 s"- 1 X 
IRC IR"+'. 
3. !'vfostrr. <JllC f•xi:-d.(• 11111 }10111r.ornorfi!)J1lO do prod11to cartesiano 5m X sn sobre 
11m s11li<:onj1111l.o de IH:'"+"+ 1. 
'1. Dê exe111plo de c:onj11nl.os X, Y C IR" e pontos n E X, 11 E Y l.ais q11e X - ( n.} 
e )r - (/'} silo hnmcmnorfos mas X nii.o é homcnrnorfo a Y. 
5. Sejam X e IR'" Y e IP:" cnmpacl.os, n E X e /1 <= l.r. Se .Y - {(1} 6 ltorncomor[o 
i1. Y -- { /1}, prove q11e X r. Y sii.o homcnmorf"ns. 
Seção 10: Conjuntos conexos 
1. Prove q11<e 11111 cn11.i1111l.o X e; IR" é cnnr.xo sr., e so111rnl.c se, para c;ida par 
de ponl.os n., /1 E IR:" existe lllh conj11nl.o CO!lt'XO e,,,, e X [.nl que 1! E e"'' e 
/J E e;,,,,. 
2. Seja 7, e llli" (n ;::: 2) 11111 co11j11n(.o Clllllller;ívcl. Dados ;irhil.rariarnen\.c os 
pontos n.,/1 E IR" - 7,, prove q11c cxisl.e r: E IR" 1.al q11c ns sep;mcnl.os ele rei.a 
[rr., 1:) " [1:, bj csl.iio '1mhos cnnt.iclos cm IR" ·- 7,. C:n11cl1m 1111c o complementar de 
um conjnnl.o c1111mcr.í.vcl cm lR" é conexo. / 
:i. Prove que 8 1 e 8 2 niio silo homcomor[os. 
~. Prove fl llC 8 1 nii.o é hnmr.ornorfo a llITT s11licnnj11nl.o de IR. 
5. Q11anl.a., componc11t.rs conexas l.í'm o conj1111l.n X = {(x,y) E IR2 ; (x · y) 2 
x · y }7 Especifi1111c-n.,. 
40 Topologi<i uo Espaço Euclidi;1110 
Seção 11: Limites 
1. Se f: X -t il{" é unil"ormemc11le contíuua 1w umjuulo X C 
para lodo a E X, existe!~~ f(x). 
Cap. 1 
i.,, 
lR 1 prove qtte, 
2. Seja y e X e Jj{"', COlll r denso em X. Para tud<l aplicação lllliforn1erne11lc 
co11tínua f: Y -t IH:", prove que existe Ulllil úuica a]llicacJw 1": _.'( -> IR", 
uniformeme11tc cuntíuuaf L;d que F(y) = f(y) p<Lra· tudo y E Y. 
" 3. Dada f: IR"' -1 li{", cliz-,;c que se tem li1n J(x) = oo quill!du para tudo 1J > O 
x--too 
existe A > O tal que j:i:j > A => IJ(x)I > JJ. Se /! ·. IR' -t ~t'· é ui li puli11ü1niu 
complexo w[o-coustal!tc, prove que li1u p(z) = oo . 
.t-~oo 
4. Seja X= {x = (x1 1 ••• ,x,,) E IR";x1 ·X2···x,, i O}. Ddiua J: X -1 li{ polido 
scn(:..t:J ·X·)··· :.rn} 
f(x) = - · Prove que liu1 J(x) = l. 
X1 • X"J ·; ·:I:n :t:--tU 
5. Scja111 a lllll po11to de aClllllltlaçiio <lo dülllÍlliu 1h runi;;\u J: X -; ~t. COlll 
X e 11'!'" 1 e V E jj{" lllll vetor uiiu-111110. Se ,;;'..''.. f(:i:) ·v = Vo CllLiu cxi:;Le 
lim f(x) =«e v0 = <> · v. 
X-td 
52 Caminhos em Il-t" C1p. 2 
é Ulllê1 liijcção de [a, 6] su!Jro [O, L], cuja i11versa cp-l: (U, L] __, [u, 6] é 
também de classe C 1, valendo, para Lodos= i.p(l) E [O, Lj, a !'órmula 
(,n-l)'(s) - ' l - l ' O (Cl'1· \!o·' ·1 11·'"· CI') \ ' - ip'(t) - if'(l)! _.., . . t. ' r"D· "1~-, 
Consideremos a reparametrização g = f o tp·- t: [ü, L] --+ lH'." elo ca-
minho f. Para Lodos= <p(l) E [O, LJ tclllos ,.. 
/ ( ) ( -1) ( ·/ I' (t) 
g s = r.p s). J (t) = II'(t)J 
portanto lg'(s)J = 1. 
Então, para Lodo s E::-·"[ü, L], o coú1pri11ie11Lo do GL1Jii11lto rcslrito 
gl[O, s] tem o valor 
l(gi[ü, s]) = ls lv'(-u)! du = ;·s d11. = s. 
o o 
Por este motivo, !J = I o <p-J clwlllu-sc ct rcparn1ncLrtzuçiio de f por 
comprirncnto de arco. 
Observação. A fórn1uh l(f) = jº II'(t)\ tlt é in1purllt11le teorica11icuLc 
mas, cm geral, ó iu1praticávcl pro
1
~urar calcular css<t i11Legral, a 11ilu ::;er 
numericamente ou cuLiio cu1 raros casos espccio.l111c1Jtc c:ocoll1idos, co1110 
f(t) = (1 - t)Jt + tú, J(l) = (cos l, ::;c11 t) e ouLros. 
5 Exercícios 
Seção 1: Caminhos Jifereudávcis 
L Seja J: 1 -7 IH'." um cau1i11ho diferenciável. Se cxisLin;111 11 E 1 e /J E li{" l.:iis 
.que a é ponLo Jc acu11lltlação Jo co11ju11i.d 1-· 1(0), l"uve q1w /'(a)= ü. 
2. Seja J: 1 -t líl.2 um carninlto rlii"crenciável cuja irna~,e111 coi11cidc co111 o gr;\fico 
da função y: [-1, lj -; ilt, 9(l) = Ili. Se" e\ 1t111 punl<.> i11Lerio1· ele J ld! 'l'"' 
f(a) = (ü,ü), prove que f'(a) = ü. 
3. Seja J; IR -7 Il{" a !télice cilíudril:a, dc!inícla 110 Ex1;n1plu J por J(I) ~" 
(cosl,senl,l). Provc.q11c, Jl<tra Lodo l E~~." rda que !ig;a os pu11Lus /(1) 
e f(l) + f 11 (L) inlcrsccla u eixo vertical de 11{". 
4. O caminlw .<J: líl. -t n.t", dc!i11ido por !J(I) = (11cusul,11sc11l11, d), é L111tl"'"11 
chamado de ltélícc. Dcterllli11c a relação c11Lrn as r:o11sl.anlcs tt, /,, e rt li111 de 
que o caminho !J esteja par;u11clrizado pelo cornpriu1c11Lu de nn.:o. 
Seç5o 5 Exercícios 53 
Scçiío 2: Cálc1tlo diícrcncinl de caminhos 
L SC'jn f: [n, l1J -> IR" 11111 c.1111inho rlifcrrnci;ívrl l.nl q11c J(ri) = J(/1) = O. Prove 
q11c cxisLc e E (n, li) La! que (!(e), J'(c)) = O. 
2. Sc.i:im J,, h: T --+ lll:"' caminhos rlifcrcnciávcis e cp: IR"' x IR'" --+ IR" uma apli-
c;içilo liili11e;1r. Prove que o caminho .<1: l --+ IR", cindo por g(l) = 
cp(f 1 (1.), h(l)). ,; dikrcnr,i~.vcl e.'/' (l) = cp(J; (!), h )) + cp(J, (l), J~ (l)) parn. t.orlo 
/. C l. l:;s1.r.11rla '"I." rcs1dtarlo para ;iplicaçõcs 71-lincilres cp: IH:"' x · · · x IR"' --+IR" 
e co11cI1rn. daí qnf' se/: (-E,E) 4 IR"'
1 
é 11111 ca1ni11ho difcrcncbívcl de n1ntri7-cs 
11l x m com J(O) = !,.. e .íJ: i -> IR é a f1111r;iin rlcli11irln por g(l) = det ·J(l) 
cnt.ão _q'(Cl) = t.r ·n. (1.ri1ço rle matri7. n), onde a= J'(O). 
' :J. Scjn J: I --+ lft" 11111 caminho diferenci;\vcl !'t1jos valores são m;itrizes n x n. 
Prove que.'/: I -> IR"
2 
rl;ido por .'J(I.) = J(l)(· é diferenciável e calc\lle J'(I.). 
Seção 3: /\. integral de 11m caminho 
l. Sejam J: [11,/1]-> IR" e cp: [11,b]--+ IR rir. cli1.SSC C 1. Se IJ'(l.)I::; cp'(l) pma todo 
l E (a, h), prove que IJ(li) - J(a.)I ::; cp(b) - cp(fl.). 
2. Seja J: [n, n. + h.j ->IR" um caminho de clnssC? Ck. Prove q11e 
onrlc 
Tl = --'·- (J -i/-I f(k)(n.-j- lh)rfl. lk 1' 
(!.: - 1)! o 
:J. Sejci:n f .. '7: [n, /,] -} IR" cnrninhos de clil.'Se e'. Prove q11e 
/
6 1· . " (.f(l.),y'(i,))rll. = (f(/1) •. '1(1'))- (J(a) . .11(n))-. n (J'(l),u(l.))dl. 
'1. Scjn x o prod11t.0 VC'i.<Jrial cm IR". p,.ra i.od0 11 E ~~:J e t.odo caminho J: [r1., l1] --+ 
IP:", prove q11e .f.'.[11 x f(l.))dl. = v X 1'' J(l)dl. 
5. Scj;, A C IR" convexo. Se o c:<minho J: [(I., /~---> llr cumpre J(I.) E A para Lodo 
/.E [(I., l1j, prnvt' fjll<) -
1 
-
1
- (" f(l.)dl. E lf. 
J - a ln 
Scçiio '1: Caminhos retiílc;\vcis 
1. Seja .f: [o, b] --+ IR" 11J11 raminho rcl.ifidvcl, com .f(n.) = ;\e .f(/J) = D. Se 
seu comprimcnt.o é l(f) = 1 D - A\, prove q1~ f Í' uma rep;iramct.rização do 
rnminhn rct.ilínco [A,JJJ. ~-
2. Seja J: [o, Lj--+ S' e TI~ 1 11m rn111inho de classe C' (r.mn IJ(l)I = 1 parn todo 
1. E [O, J,]). Se scll 11n/nr mérlin m = - J(l)d!. pcrt.cnce a S1, prove q11c J é ' ] Í,L 
L o 
consl.;rnt.c. 
3. Seja [] C IR" "hcrlo c conexo. Dar\ os n., /1 E U, provc <jllC existe \llTI caminho 
ret.ific:í.vrl f: I -> U começando cm n. e t.cnninanrlo cm b. 
511 Caminhos em llt" 
4. Dado u e IR" auerLu e CUllCXO, deliim a dislri11citi útlrÚtsem cuLrc os po11Los 
a, b E U como o íulimo ilu (a,{;) dos comprime!lLOs dos camiulios rcLilicávcis 
f: J-+ U, que ligam a e/;_ Prove que se (xk) é t11t1u scqüê11cia de pu11Lus c111 
U e a E U, Lem-sc lim Xk = a se,e someuLc se, li111 du (n., lt) = O. 
80 Funções Reais de n Vari<Íveis 
logo 
f (:r) :S :1 . J ( liéf :e) . 
éC 
Tomando c5 = -
1 
vemos que 
Ji; 
/:e/ < éC => l /\1 :{1 : e=> f ( l\:f'x) < i\1 => /(:e) :Sé. 
Ai E E 
Além Jis::;o, 
( 
M E ( /\I )) O = f (O) = f .-. - x + -- - - :e 
H+c M+c t 
::; --f(:c)+-- · I --:i: . ]\!J E ( Í'l'Í ) 
AI+c Al+c E 
Simplificancl€>, vem Ai· f(:c) +E· J(-Jvfa/c)?:: O, donde: 
é E 
f(x) ?:: M · (- /(-M:c/c))?:: f'd · ( -M) = -E. 
Cip. 3 
Em resumo: /:i:I < ct:/AI => -E ::::; /(x) ::::; E, log;o / é conlÍ1n1<.l llO 
ponto O. 
7 Exercícios 
Seçiio 1. Dcrlvudus parciui:i 
1. Um conjunto X e IR" d1illfüHC i-conve:w ( l 'Si 'S 7t) qu;mdo Jl<tri"t qllaisquer 
a, b E X tai8 q11c b = ll + lei' tcrn-sc [a, ú] e X. (Se X e 111:2 ' diz-se Cllliio qllC 
X é horizonlalmcnle convexo ou verlicalmculc cu1wexo, co11i"ur1ne ~cjn -i = l 
ou i = 2.) Prove que se u aberto U e IR" é i-couvcxo e " funi;iio j: U -> ll{ 
cumpre Di)f (x) =O para tu<lo x EU entiiq f 11ào depc11<k ela ·i-6si111a v<1riávc:I, 
1;, 
isto é, x, :e+ lc; E U =-;. f(x +te;) = f(x).'· 
2. Sejam X = { (x, O); x 2'. O)} e U = 11{ 2 -X. Dcli11;t f: U -) lll; pumlu f (:e, y) = :i:"' 
iJf 
quando x > O, y > O e J(:i:, y) =O quando 1: 'S O. f'vluslre qu0 se Lt.:1i1 -i) = O 
!J 
cm todos os puutos de U 111as f dcpcrnfo de y. 
3. Diz-se que um caminho r<.:tilíuco f: J -t IR" é 7wntldo ao ·i-és"iirw có:u q11a11do 
ele é da forma f(l) = a-1-lc;' l E I. Seu e lH'." é lllll alicrlo COllCXO, prove q11c 
dois pontos a, b E U quaisquer pode111 ser lii;ados pur 11111 Cil111i11ltu pnligou;il 
contido cn1 U 1 cujos trcdtutl retilíneos .são p•traldus aos eixo.'j. Cn1u..:I ua que se 
Df -
lJ C JR" é COllCXO e j: lJ -; Jll.'. Clllll)Jl"U -, -(:i:) = () parn todu :i: l lJ C <fi!alqucr 
Dx; 
i com 1 :S i 'S n, então f é co11sta11Le. 
Scç:ío 7 Exercícios 81 
lJf 
~. Scj;i. U C lfl!" nlH:rto. Se f: U -t IR possui dcrivari<1s p;irciais - : U -t IR 
fh:; 
(i = 1, ... , n) lirnil.;H];i.s, prove (]llC fé co11t.í1111a. 
2 
l. Scj;i . .f: 111: 2 -··)IR dcfi11irlrr por .f(:1:,y)"" ,":
1
11 
2 
se (x,y) / (íl,íl) e f(0,0) =O . 
• T. ·-.11 
l'vlosl.rc que, p<1ni t.odn 11 = (n,{J) E IR 2 , cxisl.r, a dcri\'.-11\a dirccio11;il ~)f (0,0) 
(V 
111as J ni\o ,; rlil.crcnci;Ívf'I no ponl.o (íl, O). 
2. SC'j<t J: I~" -> IR 11111a f11nçiio conLínu<t <]ttr, poss11i l.odns as dnivridn.~ dirccionriis 
c111 <j11i1lCJt1Cr po11l.o de IR". Se Di:Jf (11.) >O pi"lr:i Indo H E S"- 1, prove 'JllC cxist.c 
1l 
n E IR" t . .-cl q11c ~J (") =O, seja qu;i\ for 11 E li':". 
UI! 
3. S"j;i. J: IR" -> IR rlifcrc11ci<lve\ 110 po11l.o.O. Se .f(l.7:) e~ l · J(:r:) p.-cra 1.odo l > O 
e l.odo :r: E IR", prove que 1. é linc;i.r. Conclua que ;1 f1111ç~o o.p: IK.2 -; IR, d;ida 
por o.p(x, 1J) = :i:" /(:i: 2 + y 2 ) e (x, y) f- (O, O) c <p(O, O) = O, ni\o é <lifcrcnci<Í.vel 
na orir.c1n. 
1l. Seja J: U -+ IR de clnssc C 1 11.0 ahcr\.o U e 111:". Prove q11c, e lados o. E U e 
€>O, exisl.c ti> O l.;i\ qnc x,y EU, \x - n\ < <'i, \y - n\ <o=> J(x) - J(y) = 
( gri1d J(n.), x - y) + r(:r., y):, on<le \1"(,;, y)\ <e\,; - y\. 
Scçilo 3. O Tcorem;i de Sd1w<trz 
1. Seja J: [ x .! -> IR d11i1s vezes difr.rcnci<Ívc\ 11n rc\.ii11µ;11ln alicr\.o J x J C ll!.2 . Se 
.0·
2 
J ~ idPnl.ic;1111c11l.c 1111b, prove ri11r. r.xisl.<'111 <p: l -> IR, 1/J = .! -+ IR rluas 
dxDy 
vezes dcriv;\vcis l.'1is qnc J(x, y) = o.p(:1:) + 1/1(y) pena l.odo (:1:, y) E IX J. 
2. Use o exercício anl.crior JHna provar ci11c "' !l: lflc -> IR -> IR é rl11n.s vczc.s 
. . , 6 2.'I D2 _q _ • 
d1fcrrTJc1;ivcl, co111 -- -- , f'nl.a.o cx1sl.r111 1p: IR -> IR e tf1: lll: --t IR d11::is 
Dx 2 Dy2 
vezes dcriv<Í.vcis, \.;iis qnc .r1(x, y) = 1p(x + y) ·I· 1/•(x - y) p;i.rn Lodo (:r:, y). 
:J. Seja .f: IR" -> IR dr ri asse C 2 , Lnl ri11c f (l:r.) = 12 · f (o:) P"ra t.ndo l > O e lo rio :r E 
" 
IR". Prove que cxíst.>:111 o.;i E IR (i,j = l,·~.:·11.) !.ais ci11c f(o:) = 2.: O.;jJ:;:r.; 
1,j=J 
. - .1:4 + !14 '/ 
p<1ra \.orlo o:= (:i: 1, ... ,:r:,,) E IR". Como cxplíc:is .f(1.,y) - ~I ., . 
:i;• - - y• 
1J. Sejam f,o.p: U _, IR"+ 1 d" cle.m;c C 2 no ahcrln [} C IR". (ls\.o é, as f1111çõcs-
(J~1 
·conrdcni1<h dr. J r <p siio de ch.%c C 2 .) S11po11lta fjllC (f(:r:), -. -(x)) = o 
,,,. c)1:; 
para l.ndo J: E U e l.odo i = 1, ... , n. yrnl'c que a m;it.riz [n1j(x)J. onde 
n1j(o:) = ( ?J (x), '.1'+' (:r.)), (·simétrica, seja q11i1l for 1: EU. 
D:r.; D.ri 
Seçiío 11. A fórmnl:l de Taylor 
l. Scji1 )": u -) IR <IClli\ f1111r;iio de cln.,sc ck' rklinicb 1111111 alicrt.o u e IR" í[llC 
con1.r.m a origem O. Ser, jnnt.;uncn\.e com t.odns ;is sm1.s clcrivnd;i.s parciais até 
r(11) 
ns de nrrk111 h, S<' n1111Lrn1 nn pnnt.o O, prove q11c lim -
1 
\k =O. 
1•-HI ll 
82 Funções Reais de n Vari.ívcis Cap. 3 
2. Seja J: 1/ -+ IR de classe ()3 110 ubcrlo U C ili:", o qual co11Lém a e 1c + v, culll 
( ) , ( ,~ 8 f ., ( ) i ,~ D' f v= cq, ... ,cr,.. E.>crcvadfu)=w-.--cri,d-Ja "V =w-,--,-·üi·ü1 c 
i OX; i,j Ü:i:;iJ.i:j 
J 
d3 f(a)·v 3 = L, D 1. ·ü;·Ctj'lík,a.-;Jerivadusparci;lisscJJducalculaJas 
i,j,k ÜXiOXjÜ;i;k 
110 ponLo x = u. e os índices i, j, /.; variando de l a H. 1'011lia 
-~ l 'l " 1 ., :1 f (a+ v) - J(a) =-<I} (a)· v + 211 f(u.) - v- + i!'l J(1c) · v 1 r:1(v) 
. r:i(v) 
e pro.ve que lun -
1 
l3 = O. u-tO U 
Estenda o resultado para ru11ç.ões Je cla;;sc Ck, l ~ k < +oo. 
Seção 5. Pontos críticos 
1. Uma função f: u -) IR, de classe e~ JJO ;ÜJerLu u e lfl."' d lalllil-Se h111wu11ica 
, " D·1 f 
quando L ---(x) = U para lodo :i; E U. Prove r111c a 111aLri1, hessialla de 
i=l âxJJx; 
uma função hannônica uiio pode ser Jefi11ida (nem po,;iliva 11c111 111.:g;aliva). 
2. Seja f: u -) IR urna ru1H,:iio arbiLrária, dcliuida lllllll abcrlo u e IH'.". !'rnvc 
que o conjunto Ju,; po11Lus de lllâximo (ou de 111ÍJJÍ111u) local csLriLu de f é 
enumerável. 
3. Determine os po11tos críLicos da fuuçii.o f: ll.t'1 -+ IR, f(:i;, 'U) = co,;(x.1 -1 y."). 
Idem para 9(x, y) = x 3 - y:1 - x + y. 
4. Seja f: U -t IR difcre11ciúvcl 110 aberlo li111iLado U C R". Se, para todo 
a E fr.U, tem-se}~~. J(:i:) =O, prove que cxio;Le e111 U pdo 11ie11uô 11111 po11Lu 
crfLico de f. 
5. Dotermi11c os po11tus críticos dil funçfio f: llf' -> U~ dad<1 por /(:1: 1 ·y) = :1:'1 ·1· 
y 2 + (x2 - y 2 - 1)'1 e calcule as 111aLri'.l.CS hcssia11as currcspondculcs. 
ü. Dados a1, •.. , iLk ern IR", tleLermiue o ponto 0111 q11c il fu11ç:\o f: llt" -> llt, dada 
k 
por /(1:) = L Jx - a;J1, nssurnc o valor mínimo. 
i=l 
Seção G. Funções convexas 
1. Seja A e IR" um co11j11nLu convexo. Prove que a !'11ur/u1 [: ll!.:" -> ll~, tleli11id•t 
por J(x) = d(x, A), 6 couvex;\. 
2. Prove que todo po11Lo de 111í11i1110 local de \1111a f1111çãu ro11vcxa é 11111 ponto Lle 
mínimo global. J\lém disso, o cu11j1111lo dos pu11Lus de 111í11ilno é cu11vcxo. 
3. Prove que unia fu11çflu cu11vexa 1 f: U -) iR, cun1 U alH .. TLu 1 (11u . .!sn10 !lãü-
diferenciável) não possui pm1tos Je máximo local esLriLo. 
4. Prove que o co11ju11Lo dos pontos críticos (todos 11ecc:ssari<u11c:!il" 111í!lirnus 
glolrnis) de u11ia fuuc)io co11vcx<·, diforcnciávcl é 11111 cu11ju11to co11v"xo, 11u t111al 
f é constante. ' 
5. Se f: X -) lfl. é co11vexa, prove que, para lodu e E u~. o t:o11j1111L1, 'los pu1 llúoi 
x E X tais que f(x) ::; e é convexo. Dê cxe1nplu mostn111du q11e " rc:cípruca é 
falsa. 
Scç;Jo 7 Exercícios 83 
(i. Uma f1111(;;io f: _\' --> 111:, definida 1111\ll cn11jlll1i.o COllVCXO X e 111:", chamil-SC 
qnasc-con.11r:rn. rp1;i11do, p;i.rn Lodo r. E IR, o c1111j1111l.o Xr = {x E X; J(x) ::; e} 
é convexo. l'rnv<e C]llc fé q11asc-co11v<exa se," so11w111 . ., se, J({l - t)x + ly) ::; 
m;ix{J(.7:), /(11)} pilrn x, y E X e l E [O, lj q11:1isq11cr. 
9G Funções lmpícitas Cap. 4 
4 Exercícios 
Seção 1. Uma função implkita 
L Seja J: IR1 -t llt Jc classe C" (k 2: l ). Supo11lia que exist«rn t1rn ponto 
éJJ 
(xo,yu) E IR2 e llllHL cu11s_L<111Lc A/ Lais q11c J(:ru,yu) e= U, -;-(:i:,y) f Ü e 
a ~Y 
I
DJ /Uf 1,.T ·. .., -;c-(J:,y) -;-(x,y)::::: J\I ]J'1rn Lodo (:i:,u) E~(. l'ruvc q11e, Jlilra tud<J :e E lll:, 
D:c <Jy 
existe lllll único y = Ç(:i:) E llt L;d l]llC J(:c,Ç(:c)) '-~ ü e 'Jl!C iL ru111,:iio f.: lf!'. -t !!<:, 
ô.SSil!l definida, é de classe C'". 
2. Seja f: u-+ IR de cbssu C 1 110 itlicrto u e IH:". Se I "'-"''""";ui JltllllCJ:i críLicus, 
prove que a irnag,crn f(A! .• <lc ludo aberto A e u é 11111 COlijtrnLu aLcrLO Cllt U{'.. 
3. Seja f: IR" -t IR dada por f(x,y,z) = x·• + 2x · cosy +sc11z. Prove q11c, n11llla 
vi<-:inlrnnr;a de O, a equaç;·w J(:c, y, z) = O dc!i11c z cumu ftlllçiio de classe C"'-' 
das variúvcis 1:, y. Calcul" !Z!.. e Dz . 
fü Üy 
'!. Seja f: lR X [U, 1) -) li!: il fU11ÇãiJ COlllÍll!lil deliuida pur f(:c, ·u) = (x'2 + v") . 
(yelxl - 1). Prove que, parn cada X E R, existe Ulll ú11icu y = n:c) E [ü, !) tal 
que J(:i:,~(x)) =O ma.-; a r1111ção C IR-> [O, 1) nii.u é co11tí11ua. 
5. Sejam f,y: IH'." ->Ili: lais 'JUe, para todo :t E lll:'', vale r1(:c) = /(x)(l I· J(:c)'1). 
Se g E Ck, k 2: 1, prove q11c j também é ele elas:;.:: Ck. 
Seção 2. Hipe1·fícics 
l. Prove que o co11ju11Lo J\1 e 11\:"1 <las matrizes n x ·1i de posto n - 1 é u111a 
hipcrfície oricnLávcl. Seja p a matriz n x n cujos clc1ncntus são Lodos nulos 
exceto os H - l pri111ciros da di<cg;oaal. Ddcrmiue '1;,/\J. 
2. Provcq11coconjuutoduspontos(J:,!f,Z) EIRJ Laisq11•:z'1 +(J:c'1 +y·'-:2)~ = l 
é urna supcrlkic e=. Q11c furllla lcrn essa :rnpcrfícic'! 
3. Prove que Lülhl hipcrfície AI e w•+l é locnl11w11Lc uric11L;ível Jl(J seg11inLc SCJl-
iido: caun pontoµ E /\J possui lilllil vizinhaJl(;a \1 em Ai llil qtrnl csl;Í. dclinido 
um campo conLfuuu v: \1 -1 11{"·1·1 de vetores 11iw-11ulus aurrnais a Í\'Í (.:iu scj;c 
v(x) J. T.J\1 para Ludo :i: 1~ V) 
Seção 3. Multiplicadores de Lagruuge 
1. Seja (Ax, x) = l a eq1uuJ10 de lllll elipsóide JI/ Clll u<::•-l·l. PnJVC que" Jll<tior 
<lisLância de 1rn1 ponto de A/ i\ origem é 1/ /ii. oudt: I' é" rn<:11or autuvalur do 
operador po:;itivo A. Ela é ati1igida 1111m pu11tu :<:E Jld q11e é a11tovelur de A, 
correspondente ao auLovaJur jL. 
2. Seja H o !tiperpla11u de 11{"+ 1 definido pela cq11açi\o (&, :r) = e. Use o 111étodo 
do multiplicador de Lagrange para mostrar que o pouto 11 mais próximo do 
+ e - (&a) 
ponto a E IR" 1 é x = a + ' · b 
lbl' . 
3. DcLcrminc os po11Los cr!Licus daf1111çiio f: IR~" -t lit, tlad<t pur /(:t:, y) = (x,y), 
restrita à esfera unitária l:i:j 1 + Jy[~ = 1, e co11d11a dai a desigualdade de 
Schwarz. 
Exercícios 07 
1 2 
,1. Seja fl.f(n x n) =IR" . Prove (jllO o m<lxi1110 da f11nç.;io J: IR" --t IR, dad" por 
f(x) = dei. x, rcst.ri l.il it cs[era "2: :r:f1 = n, é al.ingido 1111ma Inillri7. ortogonal, 
"1 
loi:;o (, ig11ill a 1. Nnl.nnrlo fJllC, se ns linhns de x sií.o 111, ... , v., entào x = 
!11 11 ... !u,,l · w onde t.odns as linhas de w l.(•111 co111pri111c11lo 1, conclui\ daí a 
IÍc.<iyHalrladr. rlc lfarlnmanl: !dei. xl::; 11111 ... lv,,I. 
S. Prove q11c n menor v<ilor d"- sorni\ 8 = 1:1 + · · · + :r.,, de n números positivos 
cujo pro<li1to p = :r.1 · :i:2 · x2 · · · Xn é consl.i\11lc ,: illingido quando c:>:>cs mímcros 
silo iguais, logo valem \/Ji. 
. .. 
Seç;'ío 4 Exercícios 109 
4 Exercícios 
Scçno 1. /\_ dcriv;idn como trnnsforn1nçnn linear 
l. Sr.jn J: IH:"' -* IP:"' difcrcnciávd, com /(O) =O. Sr: il l.r:111sfnrn1:ir;iio linear /'(O) 
11;10 :id1nil.c o nul.ov:ilor 1., prove qnc exisl.c 11111;i \'izinlia11r;a \! de O c111 IR'" tal 
q11c J(1:) /e 1: para Indo .1: E V - {O}. 
2. Dnrla a nplicnçiin f: S'" ->IR", dd111a s11a r:ri.<'11.<iio 1mlirrl F: 111:'"+ 1 __.,IR" 
pn11do P(.r) = 11:1 · J ( 1:1) sr" l ()" F(O) '~O. l'rovo q11c r (: diíNenciávcl 110 
ponl.o O E IR"'+ 1 se, e sornc11tc se J !\ (n rcstriç:'in "' S"' rk) lllllil 1.rnnsformaç;io 
linear. 
1. Sejam U C IR"' ahcrl.o e a E U. Diz-se q11c ;1 :iplicnçiio f: U -> IR" é duas 
11r.ze.< difcrcnciá.vcl no ponto a quando rnrl:i 11111a dns s11ns funçõcs-coorden;ida 
o é. Neste caso, n dr-ri11n.da SCIJ1lnda de J é, por rlcli11içiio, a aplicn.çiio liilincnr 
J 11 (1:): IR"' x IR"' -> IR", dadn. por J"(n.) · 11. · ·11 = ')Ü (~J)f) (n.). Prove qne 
(ti ( 1t. 
.f11 (rr.) · 11·11 = .f"(t1.) · JI · ll. 
'l. Dndo U C IR"' nhcrf:n e conexo, scj;i f: U __., li~" - {O} rliícrenci<Í.vcl. /\ fim 
de qllc IJ(.i:)I sejn. cons1"'1.nl.e, prove qne é ncccss;\rio e s11ficicnLe q11e, parn todo 
x EU e t.odo v E IR"', o vetor .f'(:i;) · v scj;i. orl.oµ;on:il a f(x). 
Scçiio 2. Exemplos rlc rforivarlit:'i 
l. ·sejn. A: u -) L:(IR'"; IR") diferenciável 110 ;i.li0rf.n r; e IJl!P Defina.!: u X IRm __., 
IR" pondo J(.r, 11) = J\(:7;) · 11. Prove q11c J é difcrc11dávd, com J' (x, v) · (h, A:) = 
(;l'(:i:) · h.) · 11 + J\(x). J,:. 
2. Seja . ./: U __., IR 2 definida uo ;ihcrto U e IR 2 . S11ponli;i. q11c, consirlcrnda como 
f11nçiio compl8xa, J seja derivável, com .f'(,:n) o/ O para 111n cert.o zo E U. 
Considere cn.minlios n,(3: (-€,,€) __., U f.;iis q11c 11·(0) = fi(O) = z0 e o:'(O) /e O, 
/9'(0) lo O. Prove q11c o {i.11g;11lo cnl.re n'(O) e /7'(0) (: iµ;11n.I "º li.11g;11ln entre 
J'(zn) · n'(O) e .f'(zn) · (3'(0). No11!.rn.'i pal;wrns: .f prcsr:rvn. os li.11µ;11los entre 
curv<l~<i. 
:1. Scj:1./: lfl: 2 -> IA::1 ddinidapor J(x,?J) = (:i: 2 ,y 2 ,(:i: l·?J).1). /vlnsl.rcq11c J'(1:,y): 
111! 2 -> IR'1 1.cm posl.o 2 <* (1:, y) f (O, O). 
1!. Scjn .f: IH:~ -> IR'1, J(1:, y, z) = (1: 2 - :1/ 1 1:y 1 :r~, zy). i\fosl.re q11e J'(x, y, z) 
é 111nn l.r<111sfnnnnçiio lincnr injct.ivn, s;i.lvo q11:inrlo J; = il = O. Determine a 
imnp;cm de .f'(O,O, z): IH:'' -+li<:'. 
5. Mosf.rc q11e a derivad:i eh aplicaçiio J: IR" -• ~~:i, d;ida por 
l.cm posl.n 2, sn.l"o nos po11los ele IR" q11c f.(,111 ;1' l.rc-.. , c:nnnlc11ada.'i iµ;11;iis. 
Seçiio 3. C;ílcnlo difr.rcncinl de nplic:açõcs 
l. Seja J: [/ __., IR" clifcrrnriftvd no ;iherl.o u e IR'". Se IJ(:r) - f (y)J ::::: M · lx- yj 
pitra q11n.isq11er x,y E li (onde A1>Oé11mn. cnnsl.anl.<') rnl.iio 1.f'(x)I :::; M 
para 1.odo 1: E U. 
110 Aplicações Diferenci<iveis Cap. 5 
2. Seja U C II{"' alicrLo. Dadas f: U -t JR" y: U -t JRP eT: U ·--1 .C0<";W'). 
de/ina <p: U -t lR powJo <p(x) = (T(x) · J(x),g(x)). Para x E U e h E IR"' 
quaisquer, determine ip'(x) · h. 
3. Sejam U C II{"',\/ CU~" abertos e f: U -t V, g: \/ -t IR" uplicações duas vezes 
diferenciáveis. Para X Eu e y = f(x) E V, iuterpretc e prove a igualdade 
(g o f)"(:r) = y'(y) · J'(x) · J'(x) + y'(y) · J"(x). 
4. Seja U uma uola auerta de ceulro O em IR"'. Dada A: U -> .C(IR"'; IR") dife-
renciável, Lo111c :t E U e defina o caminho <p: (O, 1) -; .C(lR'"; JH:.") pondo cp(t) = 
A(tx). Urna das iuLerprelações scgui11tcs para a fórmula 'P'(t) = A'(tx) · x é 
verdadeira: cp'(t) · v = (A'(tx) · x) ·vou cp'(t) · ·v = (il'(lx) · v) · :t. Dcci<\a e 
prove. 
5. Seja J: U -t JR" couLíuua no aLerto U C IR'" com [!L,a + vj C U. Se f é 
difercnciá vcl em lodos os podas de ( <i, a+ v) euliio, parn toda T E .C(Jl.l'."'; IR"), 
prove que 
l/(CL + u) - /(a) -T ·vis; sup IJ'(a-!- (u),.- TI· iul 
0951 
G. Dada f: U -> IR, difcrc11ciável no i\ucrlo U e IR", Jixe a E IH:"' e deliua <p: U -> 
IR"' pouJo ip(x) = f(x) ·a. !\ira ca<la x EU, ddcrrni11c cp'(x): llt" -; IR"'. 
12:2 Aplic<ições lnvers<.is e llllplícitas Cap. 6 
U::;ando c::;tas derivada::; parciais, a 11.egra da Cadeia nos permite con-
cluir, a pai'lir da ideutidadc f(:c,f,(x)) =e para Lodo x E V, que 
Df Df I 
n-(z) + -D (z) · f, (x) =O, com z = (x, f,(x)) 
ux y 
Logo 
[
[Jj ]-l 8f 
((x) = - -::-(z) · -, (z), av Dx 
ainda cow z = (:e, f,(:c)). Note que a hipótese do Teorema das Funções 
1 . D. f ( ::-:) : "" ll Irnp ícitas assegura que a transformação liucar "' m.11 _ _, -t" é in-
Dy 
vertível para'Loclo z ua vizi11liaaça de P,· 
Exemplo 4. Diz-se que u uúmero corqplexo. e é UllHl. rniz súnple;; do 
µoliuômio p quando se tc111 p(z) = (z -c)q(z).com q(,c).t O. O Tcorei11a 
G pode ::;er u:mdo para mostrar que as raíze::; simple::; de u111 µol iuôrnio 
dependem difore11ciavel rncuLc dos coeíicíentes dc::;::;e poli11ômio. A fün de 
provar is Lo escrevemos,para cada a = ( u 0 , ... , a,.) E C"+ 1 = R1 "+'2 e 
cada z E iC = JR~, 
Dp 
EuLão, de ]Ja(z) = (z - c)11(z) resulta Dz (e) = p;,(c) = 11(c), logo a 
· · 1· · ( 1) " 2 Dp ( ) , . , 1 . l matnz 1acou1éu1a rca "' x , Dz e , e rnvcrt1ve, por ::;era rnalnz ta 
tra11sfon11él.çâo liuear de ll-l'. 1 que co11::;Ü;te na multiplicação pelo 11úmero 
complexo não-rntlo q( e). Portanto, em virtude do Teorema G, cxísLcrn 
bolas abertas B = B(a; é) em C"+l e B' = B(c; ó) CJ!l e tais que, para 
todo b E B, o poli11ômio Pi possui uma única raiz ~(b) E B', él. qual é 
simples, e a aplicac)ío C JJ --1 IR~, assim clefi11ida, é de clas~e C 00 . <l 
3 Exercícios 
Seção 1. O Teo1·eum <la Aplicação Invei·sa 
1. Sejalll tp: U -> Ili'."' de cla.ssu C' no alJerLo U C lfl:'" e e E [O, l) li1is q11u 
[ip(x) - <p(y )[ S cj:r - yj parn quui~quer x, y E U. l1ruw cp1e J: U -1 üf", dada 
por f (x) = :e -1- <p( X)' é lllll difcomorfis1110 de u solire u aiiurlu V = J ( U) e li("'. 
Se V= IR'", prove! que f(U) = IH:"'. 
2. Pan\ iodo k E 1~, prove q11c existc1n abcrto!í U, V e /\,fCn X n) == lli'."2 tais que 
Locla rnaLri;, y E V pos~ui 1111rn única nli;, k-ési111a x E V, bLo é, La! que x" = y. 
Seç;io 3 Exercícios 123 
~ 3. Sr.ja. lJ C IR ., o conjunto dos opcrndor<'s pnsil.ivos ;\:IR" -; JRn (rr.prr.-
sr.nl.i1dos por s11as n1al.ri7.cs). Use o Teorc111a Espectral r. prove ri11c " aplicaçiio 
!~ U -> U, darl" por J(x) = x 2 , é 11m diíc01nnrlis111n e=. 
ti. Scjil f: U -> IR" de classe C 1 no aberto U e ur, com n > 1. Se o dr.tcrmi-
11a11!.c jf\cohia110 ele f sr, ;i1111la ap~n;i4c:; 1111111 c:o11j1111l.o rlf~ pontos isolados, prove 
q11c f l.rilnsforrna !.orlo ahr.rt.o .!\ e u 1111111 alHTl.O .f(J\). Use cst.c (ai.o para 
dc111n11sl.ra.r q11c t.odo poli11ru11io co111plcxo 11ii<1-<"0nsl.i111I.,, 11: IR" -; IR" ,\ llllla 
aplicaçii.o sohrcjr.l.ivil, provm1rlo ;i.ssirn o 'l'corct11il 1"1111<hrnen!.i1I dil Álgebrn. 
5. A SC<]iir.ncia de p;i.ssos rlcst.c exercício leva n ~flt1C!i1siio de í]11e, rl;i.rJos q11aisri11cr 
dois pontos n, b no '1.her\.o conexo U C R", "xisi.c nm dif<:'rnn0rfom1n h: U -; U, 
de cl~ssc C"", !.ai <JllC h(a) = /,. Os prii;sossiio: 
50. A í1rnçiio "": nr -t IR, dnclil por n(1:) = cxp (-- l _
1
lxl'') se lx! < l r. n(x) =O 
se lxl ~ 1, é de cJ;issc C 00 e, pondo <p(:r.) =e· n(1:), l.rm-sc <p: IR" -; IR de 
cl<i.sse C"", com O < <p(x) :S 1 se lxl < 1, <p(O)"' l e '1'(1:) =O se H ;:_: 1. 
5h. Seja e> O Lili que e· s11p · ltp'(y)j < 1. A nplirnçiio g: lfl." -t IR", rlefinirla por 
yEIR.n 
9(x) ~~ :r. -1- •p(c(:r. - n.)) · (/, - a) é 11111 difcornorfisrno C':° tal rp1c g(n.) = /1 e 
.r1(x) = x se l:r. - o.! 2: l/c. 
Se. Usando o l~xcmplo l., vê-se ri11e, par<l q11aiscp1cr pont.os a, /1 numa liolil ahcrl.a 
JJ e IR", existe 11rn rlifcomorfismo 1.:; JJ ---t fJ, rlc classe C"° tal íJ"" !.:(a) = li e 
f.(:r.) =X fora de 11111 Compncl.o f( C !J. 
5d. D<ldos U C IP:" nherLo, conexo, e a, b EU, o rnnj1111t.o A dos pontos x E U tais 
<JUC existe 11m difcomorfismo h: U ---t U, de clnssc C"°, com h(a) = .T, é ilhcrl.o 
e seu complementar U - A t.nmhém. Logo A ""' [/ e porl.a11t.o /1 E J\. 
51~. O difomnorfisrno h: U -f U, a.r,ima obl.irlo, ,; Lil q11c cxist.c XC U compacl.o, 
com h(:r:) = x' se x E U - J(. 
<' - 2 ,, • ' f - ' ., .. l' 't 1 ...JCÇ<lO • arins onçocs 1n1p ict .as 
1.. Prove q11e t.nrla suhmcrsiio J: U -t IR" dr. r.J;1ss" C' é 11111ci aplicaçiio a/Jcrla, 
.isto''· A e U "l1crl.o =:./(;\)e lR" nhcrl.o. 
2. Sr.j" J = (.f1, ... , J,,): U ---t IR" dr, cl;issc C 1. Prnvr q11e fé 11ma s11brncrsii.o se, 
e somenlc se, cm cada ponlo x E U os vct.orrs r.;rnd f 1 ( x), ... , g;rnd f,, (x) s5o 
lineilrmentc indr.pendcnl.cs. 
:1. Sejn. U C IR" 2 11m conj11nt.o aberto de mal.rizcs n x n. Prove que n í11nçiio 
dei.: íJ -; IR é 11mil s11hmersii.o se, e s01ne11l.c se, uc11l111111il rnn.l.riz cm U lcm 
posto S n - 2. 
,1. Seja J: IR"'+" --> IP:" dr. cl;1ssc Ck, (k 2: 1). J);idn l' = (o, ú) E IR'"+", com 
.f(p) =e, suponha que f)f (p): !li:"' -t IR" s~ja 11111 isomorfismo. Se 11mil fnnçiio 
( !! 
cnnl.Í111m · (: V -) IRn, dcfinirfa num nbcrt.o V C IR'", é t.al que ((a) = b e 
f(:i:J.(1:)) =e pilrn todo x E V, prove que f. é de r.J;i.ssc Gk. Use cst.e rcs11il.i'1do 
para provar ri11c se f.: V -1 IR é cont.í1111a e, p;1ril t.orlo (x, y) E V e !R 2 , !.cm-se 
(x 2 -1-1/)f.(x,y) +f.(x,y) 3 =1 cnt.iio f. é rle clnsse C 00 • 
Scç5o 7 Exercícios 113 
fl.f cntiio a inwp;cm N = [(111) e R' é uma superfície de classe C" e 
clirncnsii.o m. Além disso, f: /Ili -> N é um difcomorfi0mo. Diz-se entii.o 
íjlle f é um rn.crr;11.l/1.0 de J\1 cm R<. 
Exemplo lD.·Scja M = JR:2 -{0}. A aplicaçiío f: J\;[ ·-• íl{'.\ clefinid<l.por 
J(z) = ( ,:, , loç; lzl)' é 11m difcomorfisrno e= solirc o cilindro S 1 X IR e 
JR:1. Se11 inverso é .IJ: S 1 X lFl:.--> JR 2 - fO}, 011clc _ry(w,l.) = c 1 . w. De 
modo intcirnmcntc a11;1.logo se cstaliclccc 11111 dil'co11lorfismo C00 entre 
JR11+1 - {O} e S" X rr-i:. 
7 Exercícios 
Scçiio 2. S11pcríícics diferenciáveis 
!. PrOV(' CJ11C l.nd;i. s11pccrrícic AI e IR"'+" de cl;1'<SP e" ,-, lnc;-iltncnl.c " im;ir;cm 
invcrs;i. de Ili!! v;i.lnr rcr;ttl;i.r de llltlil ;i.p!ic;içfio f; (} -) Jft'', de ci'1.,SC e'·' llllltl 
;i.IJcrl.o U C IR"'+". Concl11a ci110 t.odo ponto 7' E AI pertence a 11m ahcrlo V e 
A'/' i 111'1.f~Cll\ de llll!il parnrnct.ri?;;i.çiio 'P: v;, -) \1, "" classe ct·' no qtt;il csl.fio 
definidos n ca1npos vetoriais 11 1, ... , Vu: \/ -1 IR"'+" Lais ri11c 111ocp, ... ,1111 o cp: 
V{,-> IR'"+" silo de rl;cssc ct•- 1 e, p;irn. cnd;i 'i E V, 11,(q), ... ,v,,(q) si'io 
linc;i.rmenl.c iHdcpcndcnl.cs e orto"o1wis <t 7.'.11\I. 
2. Scj;i. Af e IR" de clnssc C'' e dimcnsiio m. Prove ri"" o conj>tnl.o T/l.f = 
( (p, 11) E IR" X IR"; 7' E M, 11 E 7.~,kf} é 11ma snpcrfícic de clilSSC e"- l e dimcllsiio 
2m, chnmnd;: o fi.brnrlo ln.n_qr.nlc rir. A1. 
:l. Com a 110L'1çiio dn exercício 111t.crior, sej;i. uM = ((p, v) E li~" x IR";p E M, 
v E 1;.111.L }. l'rnvr. qnc ,,fi•f é r11nn sttpcdki" d" cl.~ssc ck- t e dimcnsiio 11., 
c11;im;id;i. o fthmdo normal rlc A1 cm IR". 
-J. Most.n· CJllC o conjttnl.n A1 dns mnl.rÍ7.CS ,, X" "" poslfl 2 ,·, 1111\ô\ S1ljll'l"ÍÍcir~ e~· 
de d imcnsiio 12 cm íl~ 1 ". Gcncrnlizc pnrn mnl.riz1•s 111. x H de pnsl.o /.:. 
Scçiin :l. O csp:1ÇO vd.nri:1l tang;cnt:c 
l. Dad;i. llll1i1. Sttpcrfícic AI e IR"' de clnssc e" e di111cnsiin 711., consirlcrc um ]1011-
t.o 7' E M e d11ns pnrnmcl.ri;o;nçõcs <p: \/0 -'t \1, 1/1: il'n -'t W cm M, com 
l' E \! n 1.\1. Seia [11•.i] "matriz j;icnhinnn, 110 pnnl.o :i:n = <p- 1(p), do direo-
"' iJ1/i 
niorflsmd 4,-I orp: rp- 1(\ln1V) -f 1/,-t(Vn W). Mosl.rr~ q11c :>_::o;_;-, -(yn) = 
i= 1 iJy; 
arp 
7 -(:r.0), onrlc 1/!(!Jo) = p. [No>tl.rns palnvrn.«: [n.;.;] ,; n rnnl.riz de pnss;i"crn 
rh:J 
d;i. !irise -;--(yo), ... , --(y0 ) parn a li;isc { 
!)1/i i"Ji/1 } 
ây1 rJy.,, 
f D<p , . !),p , } 
l
-,-(.to), ... ,-[J (.ro) c111 
<J:I:1 :r.m 
liM Superfícies Difere11ci<Íveis 
2. Seja À: [a, bJ --> M um u1mi11ho na superfície M C IR", cotll .\(u) = p. Da-
da urna uaoie urlouoriual {'ui, ... l u,,.} e '.l~,1\1, prove que existem aplicaçõe:; 
cootíuuas V1 1 ••• ,v,,,: (a,bJ -t !Rº tu.is que -u1(n) = ·1L1, ... ,v 111 (a) = Hm e, para 
cada t E [u, bj, {v1(l), ... , v,,.(t)} é uma base ortouormal em '1),(l)M· 
J. Dado um camiuho À: [u,bJ ---t M na superfície AI C R'"+", seja {u1, ... ,u,,} C 
'.l~,/\IJ_, co111 p = ,\(«), 11111a bilsc orlo.normal do co111pleu1ento 01·Logo11al de 'J~,1\1 
en1 IR111 + 11 • Prove que cxiste1n v 1 , .•• , v 11 : {a, bJ -> J}.tm+
11 coulí1u1a.s, tais que
1 
para Lodo l E (a,bJ, {u 1(l), ... ,v,.(t)} é uma base ottugo11al <lc ['.J'.qqMJ.1.. 
4. Use o Exercício 2 e i11d11çiio para provar que, dadas duas bases orto11ornmis 
{ul, ... 1 Uu} e {'w1, ... , 'lua} cm lR", ~e as tuatrizes n x n c11ju.::i coluH.i.\::i se.lo 
esses velares lêrn dderwinanles <le rnes1no sinal, então existem n aplic;1ções 
coulímms v1, ... , ·v,.: (ü, "Lj--; lR" lais que v,(0) = u;, v;(2) = Wi ('i = 1, 2, ... , n) 
e,paraca<lal E [ü,2J,(v1(t), ... ,v,.(t)} e lll!" éumauascorLonorrnal. Co11clua 
daí que.o conjuulo SO(IR") <la.s rnalrizes orloguuais n x H cow delenninanle 
igual a 1 é couexo. 
Seção 4. Superfícies orie11L<iveis 
1. Scjalll 'P: Uo -> U, ij;: \/u -> V, e· Wo ---t H' parametrizações nil ~11perfícic M. 
Suponha que /l.J = U u \! U W, que U n V n IV /' 0 e que o ck:lcnninaulc 
jacobiano de cada urna das mudanças <le coordenadas.,;_,-! º'P• t;- 1 oip e ç- 10·1fa 
tern siual co11stnnte. l'ruve c1uc f\.f é orientável. 
2. Use u exercício <111kr'1ur para provar que o conj11ulo AI das 111alrizes :J x :J de 
poslü l é Ulll<l Sllperl'Ície urieulávd de UilllCllSÜO 5 Clll lle. 
3. Prove que o fibrado Laugcule TM e o fiurado normal 1-11\-f de qualq11cr superfície 
são sempre orientáveis. (V. Exercícios 2 e 3, Scc;ão 2.) 
;J. Seja J: Ili:' -> R' deli11ida por f(x,y,z) = (x.1 - y~,:i:y,xz,y2). Prove que 
P = J(S1 ) é uu1a superfície C 00 de dimensão 2, cu111p;1cla e não-oricnLávcl cm 
IR 4 • (P é conhecida corno o plano prnjetivo.) 
Seção 6. Aplicações <lifcre11ciúveis e11tre superfícies 
1. Prove que u hrn11eo1110rlis1no h: S 1 x R ->IR~ - (O}, dado por h(z, l) =e'· z, 
é ull\ difcornorliswo. 
2. Use o dif'con10rlis1110 do exercício a11Lcrior para provar que o loro 11-diu1en~ional 
T = S 1 X ... X s' = (8 1 )" é difoomorfo a UlllU hiperfície cm ~"+ 1 . 
3. Seja J: M -> N 11u1 difcumorlismo locul. Se N é orie!llúvcl, prove que /IJ 
Lambé1n é. 
4. Seja111 G C IR"''..! e fl e ~t' 12 superfícies que são grupos cn1 relação à rrulllipli-
caçiio de nmlri1.es. Se J: e -) lf é Ulll ho1110lllürlb11Ju difercn~i ável, prove <pie 
o poslo <la derivada /'(x): 'J~C ---t Tf(~Jfl 1Jii.o dcpe11dc do ponto x E G. 
lGG lntegr<iis Mídtipl<is Cap. 8 
6 Exercícios 
Seção 1. A defiuição de iuLeg;1«d 
l. Scja111 J: A -1 tu: t11ua l111L<;ao li1aiLada 110 liloco H-diBH:Bsiua<tl A e J um 
11ú111ero real co111 a segui11tc propriedade: para touo E > O daclo, existe 11111a 
partição Fu de ;l L<d l[llC IS(f; f') - JI < ê, qualqucr que seja <L parlitJlU F de 
A que rcli11e l'o. Prove qt1e J = J,.f(x)dx. (Urn n:sullado aJJá.iog;u vale: parn 
a iHLegral í11l'e1·ior.) 
2. Dada ul!la p<trLiçãu /~ido liloco A, prove que as iBlcgrais infcrio•· e SUJH'riur de 
ullla fu11<,:ão li111ililda f: i\ -} IR podc111 ser calculadas co11si<len111<lo-se ape11as 
a.o parliçõcs de A qm: reli11a111 l'ti . 
:.L Sejam C C A lilocus n-di111e11siou<iis. Se a fu!l(;áo J: A -i llt é-i11Legr(tvel, prove 
que sua rcslriçilu Ic = IIC é i11lcg;rável llO \Jlücü e. 
4. Se a função f: A -t lfl: é contínua ein todos os jJ011los du lilo~o A que Lêm a 
primeira coordeuuda difere11Lc de u111 cerLo vú1uáo _e, prove que J é iuteg,rável. 
Seção 2. Couj untus de medida 11ula 
l. Prove que o grállcu de lllll:l ruução i11Lcg;rável I: A --) u~. deli11iLla lllllll liluco 
n-Ji1uc11sio11al, tc1u u1ediJa uula. ern iµ:.H+I. 
'2. Prove que u111 Uluc.:u H-di111e11.':ii011nl 11ito LeH1 11icdida H-lli111L·11.':iiu11al 11ula. Uai 
to<lo co11juulu de 111edida uula Lc111 interior vazio. 
J. Se X e lft'' e ·u E li!.'', esc1t·ve-Sl! X+ u = {x + u; X E X 1- D<tdao !vl, N e ll1:'', 
superfícies de classe C' 1 Lais que di111 /\1 + di111 N < ]!, prove que é dc11su Clll ll~'' 
o cu11ju11lu V cios vetores u Lais que /\1 + v e N sau disjuuLus. !:ie 111 e N súo 
c:o111pacLa!:i, aléu.1 de d~11su 1 \/ é a.bcrlu e111 lH:.''. 
4. Prove que loda fu111;fw iul.cgrávcl f: A -) ll( é a diferciu;i! eulre duas fuuçõcs 
iuLcgnívei~ 11;\u-uegaLivas. 
Scç>w 3. Cálculo co111 inLq~rais 
l. Seja111 A, 1J Llocus H-di11ie11siu11ab, COlll n co11tido Jlü interior de A. Se f: A -1 
1fl. é il run~:ito ig11al a 1 ll<JS pu11l.us de JJ e igual a o fura de lJ, pi·uv.: que I 6 
iutcg,rável e ri f(:i:)d.i: = vul ·li. 
L Seja a um uú111eru positivo 111c11or do que l/:!., lug;u 2_= a" = 1 - J, cu111 
11=! 
O < J < 1. lteLire do iutervalu [ü, LJ um inlervalu aliertu ) 1 , de cv111priu1eulo 
u e ceulru uu ponto l/'2. t..:111 scgui<la, cuu1 cc11trus nos ponLus 11lédius dos i11-
lcrvalus rc!)LanLcs, retire üs inlervalos aUerLos JL e J.J, a1nlius de cu11q>ri111e11to 
a1 /2. ltepcLi11du o pruccsso H vezes, resLa111 2" iulervalos fechados, dois a dois 
<lisju11tos, de ig11<1is cou1pri111entos. A (u + l)-ési111a etapa cu11~i:;te u11 reLirnr 
do ce11Lru de cada 11111 ddl!s 11111 i11Lervalo alierlv de C<J1ll)'ri111eJ1to «"·1· 1 /2". Se-
ja X = [U, !J - U Jk u ttue rcslou depois de t.:!"cLuadas Lu<bs essas upi;rações. 
/..::·:J 
Prove que o conjuulu X le1u as sejjtti11tes propriedades: <é cu111paclu, 1.eu1 i11t.c-
rior vazio, nito pussui po11los isohtdos e, pri11cipal111e11lc, "'-"' l.e!ll medida rnila. 
Ele é chamado L1111 "cv11j1111to de Canlor com 11a:dida positiva". 
Seção 6 Exercícios 1G7 
3. Se a íunção .f: J\ 1 x J\ 2 ->IR é inlcgdvel, prnve q11c exist.r. um conj11nl.o de 
medida nula X e J\ 1 !.ai que J,,: J\2 --) lft é i11l.c~<,rávcl parn l.odo X E ;\ 1 - X. 
cl. Se uma í11nçiin inl.cgr<lvcl /: J\ -) IR é ig11;il a 'l.crn s;i.\vo num co11jn11!.o de 
medida nuln., prove que f.,1 J(o:)rlx =O. 
Seção ,1. Conj1mtos .!-mcnsur<lvcis 
l. Prove rp1c n vol11rnc de um bloco !3, dcfi11idn por 111ein de 11rna i11Lcgral, coin-
cide com ;iq11cle definido <tnl.crionncnl.c como prod11l.n dos cn111rrimcn!.os cln-' 
arc:>l.::is. 
2. J11st.ifiq11e por CJUC a hol<t D[n.; rJ é 11m conj1111l.n }-111c11sur;Í.vcl. 
3. Prove q11e o interior de 11m eonjunlo J-111r.11s11r:'wcl X C lft" l ;unhém é J-
mensmávcl e vol -X = vol(inL ·X). Prove urna <tlirrnação nnálog<t para o fecho 
X. 
4. Seja .f: J\ --; JR uma f1111ção limil.ad<t 110 blor:n J\ C IR", com .f(x) ~ O parn 
todo 1: E J\. Prove que se f é integrável cnl..'io o co11j1111l.o C(J) = { (x, y) E 
IR"+ 1; x E/\, O:::; y:::; J(:r:)} é J-mcnsmávcl e vol C(f) = f;1 .f(x)rlx. 
Scç5o 5 Exercícios 175 
Teorema G. Scjn.m. X e JRH 11.m. conj7{.11.to r.ompo.cto .J -mensv.rrívcl, 
h: U _, V um. dij eomorfismo de cln.sse C 1 r:nl.re o.licrtos U, \/ e JR" e 
J: h( X) -+ IR 11m.a. fmiçrio úi.tegrrí.vd. Entiío 
. l .f(y)rl:; = ( .f(h(:i:)) · 1 i1c1. h'(:i:)lrt:i: . 
. l>(X) Jx 
Dcni.onstraçii.o. Exisl.e 11ma coherh1rn. n.hc:rLa X e LJ !V"' e U t.al que 
:i:EX 
a reshição de h a cada H~1: é um clifcomorfismo aclrni;:;sível. .Seja rÍ >O 11111 
m'imcro ele Lebesgue des.sa coberi;urn .. Torna111ns 11rn<1. dccomposíç.;J.o D = 
(X1 •... , Xk) ele X tal qHe cada conjllnto X; 1.cnlm rlifi.mcLro inl"erior ;1 rÍ. 
(Para obter D, hs.sl.a tomar nma partiçii.o P de 11 rn bl0co A contendo X 
de modo q11e os hlocos B; de P tenham arcsb1.s < rÍ na norma do máximo, 
ou rÍ / .Ji1 na norm;i, euclidiana. Em seguida, ponha Xi = 13i n X.) Então 
r . f(y)dy = L l f(y)dy = L /. J(h(:r;)) · I dcl.h'(x)ld:r: 
.ft.(S) i . h(X,) i .. \; 
= r f(h(x)) · ldeth'(x)ldx. 
Jx 
o 
Corolário 1. Scjn T: JRn -+ JR.n um opemrlor lincn.r. I'o.rn todo conjmi.to 
compn.cto .J-mcnsuní.cl X e !Rn tem-se vol T( X) = 1 rkt TI . vol X. 
Tfast<i. aplicar o Tcorenm 5 à funçiio rnract.rríst.ica ~X cm l11gar cl0. f, 
observando que é snficic1~te c01\sidcrar o caso cm f]HC T f invertível. 
5 Exercícios 
1. Seja f: U -+ JR"' ctc cla.ssc C 1 no il.hcrto rJ C IR"'. S,-,, no ponl.o n. E U, a 
1 . 1 '( ) m n ' . ~ . 1· vol ·f(!J(ci;r)) e crivar ;i, .f n. : IR --t IR1 e 111n iso1nornRn10, prnvc ci11c 1111 · ) 
··->ll vol·!J(n.;r 
1 dei. -J'(a.)j. 
2. Scjilm j\f e JRn+I llffiil hiperrícic oricnt.ávcl, 'fJ" Vii -) V 1l11l<l parnmctrizaçiio 
compatível com a orientação de /\1 e X C \! llm compacto 1.;il q11c Xo = 
<p··'(X) C Vn é rncns11r:i.vel. Seja aind<t v· fl:f _ _, IH'."+ 1 llrn campo de velares 
(niio ncccssariamcrit.c tangentes 011 normais a /11). O j7.wr:n rk 11 através do con-
j11nl.o X é, por deliniçiio, dado pela int.cgrnl J( 1>, X) = fx
0 
(1!(<p(x)), 10( <p(x)))d:i: 
3<p o<p . 
onde w(•p(:r.)) = --(.i:) X··· X -(x) (prod1iio vrl.on;i\) p;ira l.odo x E \10 . 
Dx1 Dx,, 
Prove rp1c J(1'. X) nii.n dcpr.ndc dn paramcl.rizar;iin •p. 
10 
Solucões dos 
, 
exerc1c1os 
J 
Cada llllta das nove seções dcslc capíL11!0 lcm o mdntu título de11111 dos nove capíl11ios 
a11l.eriun:s e cu11Lónt sultu;ões parn ext.Jrcít:iu:; propostos 11aq11dc! capíL11io. En1 cada lllllil 
delas, a 11oluçiiu JNJ :;ii;1tilica u 11-esintu t:xcrdciu Ja st:<;Úu /1 du capíL11lo corrt:.oponde11L1.J. 
1 Topologia do Espaço Euclidiano 
1.1. Se iu·\··vl-"' \1i\ +lul e11Lúu lu+u\' = (lul-1-lvJ)', u11 suja, lul" +:!(u,u) ·1-\ul1 
l"I' -\- 21"1 lv\ -1 lvl·2 , lu!',u (u, v) = \Hl \ui u daí u = u · u, com cr?. O. 
1.2. J-'udetllus supor que lllll elos vetores 1l = X - !J e ·u '"- '!} - z, ,lig<UllOS V, C 
Jil"ercnle de "ero. EnLáu, de lti -1- v\ = l:i.: - zl = l:c - 9\ ·\- I!! - z\ =' \u\ -1 lv\ SC!',lle-SL> 
q1w ·u = üll, CLllll n :'.:'. U. Lugo !J - z = n:c - ny e daí (1 -\- n)y = z -1- nx, ou seja 
y = (1 - l)x -t- lz, co111 l = n/(l + n); purLauLo O ::; l ::; 1. 
(~: y) 
1.3. Seja z = l~I" · x. Co111u (y - z, x) =O, segue-se que (y - z, y) =O, u que 
nos dá IYI" = (z,y) e Jaí lxl"lul' = (:c,y) 1 , logo x e y sàu culiueares. 
1.4. U111 cálculu i111cdialu 111usLra que, como l:i.:J IYI, vale(::, :e) = (z, y), pur-
La11Lo (z,y - :i.:) = ü. 
2.1. Deve111os Ler e="-\- 1\u - a), u11de l é Lal que (e, 0) =e (e;, u). lsLo 11us dtí. 
(u, u - (l) · 
l = 
\u - ui" 
rela u&. 
O 'l'eurt:11rn de l'iLágorns assegura que [cl < l:rl para Lodu :i.: /e e "" 
2.2. Vale [(l - l):r -1- lyl < (1 - l)r +Ir= r se O< l < 1 cm virtude de 1.1. 
2.3. Seja e, cu111u c111 ~-1, u pu11Lu da rela a/, tal que e J_ u - "· De lttJ < llil 
rcsulla, por PiLág,uras, q11c ill - ci < lu - e\. Salic111us lJllê la -- cl < \1:. -- ci < \/1 - cl . 
. ·Bug.o, nuvtu11cJ1Le por PiLúgura.:;, L<:111-sc lul < lxl < jl>j_ 
2.4. Jslü pude SCl" jll"l!Vildu llS<tlldü O falo Je que il rllll\Úll 1/ =:e'.! é CUllVCXil (c\"r. 
voL !, pag. 108) 011, direlame11LL', assini: daclus (u.,ui) i:: (u, n) e111 X, para 111UsLrar 
que ((1-l)a·J·lu, (1-L)rn-1-1.n) E.\'., lmsla pruvar qu12 (!-t)"a'.!-\-l 1 1?-1-'2t(l -l)au S 
(1 - t),;1 + l// pois a" S rn e 0·1 S "· L<:va11du c111 co11L;i que l --1 -- (1-1)"2=1( 1 -1), 
isLo <:quival12 a provar qu12 '21(1--l)••Ü "S t(l-l)(a'.!-1-I/), u que é claru puis 1/-1-// 2: '2u&. 
Seç;io 1 Topoiogi;i do Esp;iço Euclidi<ino 177 
2. 5. Se \T · 11\ = a > O cnLi\o \T · n11\ = 11. · o. loi.;n T niio é limil.;vla. Sej<t 
e= m<tx{\Tc,\, ... ,\'J'e,,.\}. Se o conj1111Lo X e IR"',; limil.ndo cnt.iio existe k >O L<tl 
ri11e, párn t.odo ~; = (x1, ... , x,,,) E X, tem-se L \:r,\ :S 1.:, loi:-;o \T · :T.j = \ L x; · Tc,J s; 
i:-:1 
L \x;\ \Te,\ ::O e· L \x;j S: e· k. 
3.1. Se :1; E inl.·X c11t.iio existe r >O com O(i::i-) C X. Parn todo y E D(x;r), 
O arr,11rncnl.n do l.exl.o lllOsfra CjllC, po'11do 8 = 1· - jy - x\. l.C111-SC [3 (!J; S) C lJ (x; r), 
donde IJ(y;s) e X e daí)/ E int .. X. Porl.m1t.o ~;E i11l..X '*X E inL. int..X, O!I seja, 
int. .XC inl.. inl: .X. /\ i11d11siio cont.ní.rb é óbvia. 
3.2. Se ;\ é !1111 rthert.o co11t.ido cm )( enito l.r.ido ponl.o ~: E ;\ é ccnl.ro de 11111'1. 
liol;i. conl.ida r,111 A, loi:-;o contida cm X. Assim ;\ e inl. .X. 
3.3. /\ frnnl.cira do co11j11nto l(JI", formndo pelos ponl.ns rlc lf~" r:nj:is coorden'1d:is 
siio números rncion<tis, é Lodo o JR". Se XC li-!!"<'• ai>crl.o rnl.i\o X n fr.X =_0. 
Q1mlqucr bola com ccnt.ro 1111111 ponl.o x E fr .X co11I /:i11 po11l.ns de X porl.anl.o pontos 
fora ele fr .X. Assim nenhum ponto x E [r .X é um Jl<ll1t.o i11Lcrior. 
:l.1. IJ;ista oh"crvar ri11c todo aberto A C IR" é a rc1111i;io rl"s hol:is a1Jcrl.i1s nele 
contidns e ri11c a projeção de uma bola aberta é 11111 inl.crv;o.lo ;i.licrl.u (f al.o q11c fica 
1nais evidente quando se usa cm IR.n a norn1a rio n1:lxi1no). 
3.5. Tome cm c<tr1'1. aherl.o A dessa colcçiio 11111 ponto pcr\.c11cc11l.c :ia co11.j1111t.o 
não-va?.io ,t\nQ''. Corno Qª ~ c11111ncráv:cl o 1ncs1no tJCOlT(~ cntu o co11junLo dos pont.os 
cscolliidos, " cada 11111 dos q11nis corresponde um 1'c11Íf'o alicrt.o rl<t colcçii.o pois cst.c:s 
siio disj11ntos. 
''-1. Pmn todo é> O dnrlo, existem l.c 1,h EN l;iis q11c I.; > 1~1, k E !'I' i111plic:i11i 
\:ri. - a\< é e/,:> k 2, k EN"=> \xk - a\<€. S('_i". ~:o= 111nx{l.:i.~:2}. C01110 
l'J = l'l' U N", scg11c-sc riu e k > k0 =:- jxk - a\ < €. Lui~o li111 :q. = ri. 
4.2. Se cxisfr;sem 11rn s11hconjunto infi11iLo l'oi' C l"I e um ponLo n. E IR" t.:iis 
que lim o:k = a cnt.ão cxist.iri<t 1.: 1 E N t.nl ri11c k C l"I', k > k1 => Jxk - a\ < l =:-
nEN' 
\:r.,\ < \n.\ -1- l. Ao mcs1110 l.empo, se íor lim JJ:k\ = +oo, <'Xisl.ir.-í 1.:2 E N 1.'1.I Cjll<~ 
!.: > l.:2 => \.i:,\ > \ai+ l. 'l;omand'o k 0 = max{k1 ,l.:·i}, pn.rn 1,()(lo I~ > k0 l.crín111ns 
Jx,\ < \n\ + l e \xk\ > \a\+ 1, 11m,nbs11~clo. Lo)';n (n) => (h). !.Sm seguida, se n 
conjunto f>lx rio item (c) fosse infinito então os t.c•rrnns Xk com k E l'ix íorrrnuiam 
llnHt sr.<iiiêndfl lin1itnda, a rp1al po~suirin. 111na s11hRccilifncia r:nnvcrgcnlc. Logo (h) =-} 
(c). Finalmcnl.c, admitindo (e), para Loclo A > O o co11j1111l.n dos índices k EN !.ais 
ri11c j.1:k\ :".'. /\ possui 11m clcmcnl.o m.-íxirno k0 l'ogo /.: > l.:o =} ix•i > A, o q11c prova a 
implicn.çii.o (e)=:- (a). 
4.3. Tome U(cr.; t:) c_!l_. __ _ 
1.4. Corno a. E X n (li~" - X), pn.rn 1.oclo k E 1°1 r·xislr111 T1. E X e yc E IR" - X 
l.;iis rinc \xk - a\< I/k e lm· - n.J < I/k, logo lirn.r1.- = li111 !J1, = n. J\ recíprorn é 
óbvia. 
5. l De X e X e y e Y, scg11e-sc Cj11C X u y e X u )'_ Cnrno X u V é [ccli;ulo, 
resulta daí ri11c X U Y e X U V. Por antro !:ido, de X C X U Y e Y C X U Y scg11c-sc 
(j11C X e X u y e y e X u Y, logo XUY e X u \'. /\11nlo)';arnc11lc, X e X e y e y 
in1plicnm )( n y e X n y logo X n y e X n y p01Cjl1C X n y é [cchadn. Tom~.nd<J 
X= (n.,b) e Y = (11,c) temos X nY = 0 e XnY = {IJ}. 
5.2. P;irn Lodo k E N,.sej<tm )ú .= (xr;r 2 k} e F o conj1111l.n dos valores de 
:iderê11cia de (1:1,). Scg11e-sc dn dcfiniçito ri11c a E F \"> n E X k parn !.orlo /;: E N. Logo 
178 Solllç:ões dos exercícios Cap. 1Q 
F = Íl :~\: portanto P é !'cd1adu. 
J~EN 
5.3. Se A é aherLo e (! E A n X então (l = lilll'.l:k' Xk E .X. Para Ludo !.: 
sulicic11Lcu1cnte grande, lem-se :r,, E A, isto é, X!. E A n )(' portilllLO (l E A n X. 
!'ara a recíproca, se A 11iw l'nsse alicrLo, exisliria u111 punLu u E A nãu-inlcrior, logo 
(L E A n X, onde X = ll~" - ;I. l'vlas, 11cslc ca:;o, A n X = 0' lugo 11ãu se Leria 
.. 1 n x e A n .·'<. 
5.4. E~crcveudu os puulos de ll-1'.'"+" sob a fonna (x, y), cu111 x E IJr" e y E IR", a 
igual<la<lc X x V= X x Y rcsull« do falo de que: ((L,u) = li1u(:i:,,y,_) -w u = lim:rk e 
/J = Jim Yk . 
5.5. As duas alirrnac;õcs tkcorn.:rn do suguialc: parn lodo coaj1111lo X C U~", 
Lciu-sc a reunião disjuula ll-1'." = inL .X U fr .X U inl .(IN!" - X), sendo,\ fod1ado se, u , 
son1cnte se, IR" - X é aberto. 
5.G. Se d(A, JJ) = O então existem sequencias de pouLus Xk E A e Yh E IJ 
lais que Jin1 lxk ~ Yk 1 = O. Passando a u111a subseqüêucia, se necessário, pode111os 
ad 111 ilir que cxislc a= li1n :i:k, Jhlis A é liinilado. Eulflu vale Lawl.H':111 li111 ui-="·· logo 
a E A n H. Como A e fJ são <lisj1111Los 11ãu se pu~fo tci: :" E int .Jl 11t11! 11 E iul .LI. 
Lu~o a E fr . A n fr . 1J. 
5.7. Seja e e lfl:" Cl>llVCXO. Se ü, /J E e eu:::: l:::: l CHLilU (1 = lilllUk e li= lirn iit 
COlll llk, °"E e logu (1 -- l)uk + 11.i,, E e. lJ<1Í (1 - l)(L +tu= li111[(l - t)u, + llii.) E e, 
porlillltO C é cu11vexu. 
5.8. Sabe111os que existe x E C tal que J(x, e) = lx - i[. Se existisse ü11tro ponlo 
íj E (' corn jx -- ;l'j = jy -- !il c11liiu, pelo 8xcrcício 2.2 LCrÍlllllUS lx - zl <:: i:c .. - xl parn 
tudo po11tu z E [i, :i;) C e; e ent~o 11c'iu seria ice - xl = d(x, C). 
6.1. O suprc1110 de u111 co11junlo <lc 11ú1ucros reais perlcnce ao f'cclto desse 
co11junLo. Logo dia111 .1\ = liin l:q - Yd co111 Xk,'!Jk E 1\. Passa11do il u1m1 s1i!J-
.. - . • . L I' - r /\ l L . L N" L-- l'<J' co111 SL:(plel\Cli.ll se llCCCSSó.lrll>, ClllU~ J...~.'i1', :t:J,.;. :::.. {L t:: \.. llil. ugau1e11 (:, CXlS e 
li1n Yk =li E"t'.'í'.:11tão j<L - úl = li111 i:c, - Yk[ = di;1111.J(. 
l..t;l~' 1 kf:N" 
6.2. Se X 11ilu !'us:;e limitadoe11tiiu, parn Ludo k E N, . .\ nilu e:;tai·i<t contido tlil 
bola IJk = IJ(U; !.:). t.•:nti1u a ClJlierl.urn alierla X C Ulh 11iiu ad111itiria sulicolierturn 
li11ita. PortauLo X é limitado. S.., • .\'." 11ào fosse kcliado, existiria u111a s1iqiiê11cia de 
pu11tus Xk E X colll lin1 :t:k = u !/: .\'.'. Eutào os aLerLos ;\k = Jfl:" - JJ[a; 1/ kj fort1lilt'ia111 
11111a culicrtura de ll-1:" - {u), purLantu de X, sem s11bcou<::rLura li11ila. 
G.3. Seja (L lllll valur d.:: adL!ri"1cia de (xk)- Se uão ru~:;c (L = lilll :Li..' cxisLil'Íillll 
é > U e uma i11li11idadc dl! índices k lais que jxk - ui -'.:'. f. Passandü a 11111a sub-
seqüêucia, se IH;<.:Cssúriú, Lería1uus li1n J.:1.; = ú, co111 !Li -- ai 2 €, logu U l u .seria uuLro 
J.t.;W 
valor de aderê11cia. Qua11Lo ao exemplo, uasLa toniar :q = U para k ímpar e 'Xk = k·e 1 
se J,; t! pa~. 
G.4, Co1nu o cornpadu }( e (J rcchildü IK" - u sii.o disj1111Lus, eJ$i:>Le111 (l. E J(, 
ú E li{" - U lais qt1<! :r E J(, 'I) E IH'." - U =e;. Jx - YI 2: la - lil =E > O. PorLu11lu, par 
Lodo :r E](, lelil-SC lJ(:r;E) e U. Se X E J( e IY- xl < € c11V10 [:i:,yJ e li(:r,E) logo 
[.r,y) e U. 
G.5. Se c1 = li111 :r, co1n xk e X pum lodo !.: E J'\I culiio o coujuulü 1\, l'orn1ado 
pé:los pontos xk 111ais o po11lo ú, é cu111p;tclo, lo~o Xnl< é l'echadu, porla11Lo a E Xn/\. 
l~tn particular\ a E X. Porlanlu . .\ é focliaJo. 
Seção 1 Topologi<i do Esp<iço Euclidiano 179 
7.1. Se (J(x;-)) poss11issc 111n;i. s11bsrqi'tênci;i. ro11vcrr;indo p;i.ril o ponto h, rlcs-
prczi1.1Hlo os ~.ermos "ria 11~0 pcrl.cnccnles, o conj1111l.o /( ~" (f(;r:h); !.: E N) U (/!} 
scrin cotnp;i,cl.o lo~o .r- 1 (/\')seria 11111 cmnp;,r:l.o cordnndn Lodos os~:,. ... t: cnLil.o (:r:h) 
pnss11irii1. 111n;i. s11hscqii<~11ci;1 convcrgcnt.c. Porl.;i11!11 (;i.) =} (li). l\.eciproc;i.mcnl.e, 
s11po11dn (h), sejam J( e IR:" mrnp;i.cto e (o:t-) uma :.;cqiiênci;i cm f- 1 (!í). Enl.~o 
a scqiii'ncia (f(xk)), conl.irl" no compacto /(, poss11i 111n<1. snhscqii(,nciet convcrgcnl.c, 
com lim J(1:;,) = /1 E/(. Pcl;i. hipót.cse (h), (x;,)1,ç1J' f.Cll\ 11111:1. s11hseqiiênci;i convcr-
kEl"f' 
gcnl.c, 'com lim .-i:k = n. Pela cont.innidad,-, de .f, !1·111-se .f(o.) =li, logo n E 1- 1 (!<). 
k.~'.W' 
J\s0im f- 1 (Jí) é rn111paclo. 
7.2. Podemos cscrr.vcr, p;ir" !.orlo z /c O cem 111; 2 · 
( ) ,, (no n.1 J'Z =z -+--+· 
. z" zn-t 
+ n,,). -
l"hí rcs1dt.a que lz;/--+ +oo =} /p(z;,)/ --> -1-CXJ. 
7.3. 1-'"rn caria x E X, seja ~(x) E [(o 1°\llirn ponln 1.al qne J(.-i:,f(.i:)) =O. 
Se lim Xk = Xo cm X, admitamos q11c n = lim ((:1:1.) e b = lim Ç(x,.) sejam va-
J.:(..: f~' ~:E r-111 
!ores de arlcrrncici ria scqi'1C,11cia (~(xk)). f'cla cn11l.i1111irl:11lr, rlc .f t.c111-sc .f(:ro,n) '"' 
li111 .f(1:,.,f(Tt.)) = O e, a11aln1(a1n<~11tc, f(:r11,h) cc ()_ Í">r;o n = 11. /\ scqi'1A11cin. 
/..:f-rl' 
de pnnf.os ~(:1:t) no cn111p'1.<:!.n J( !.crn port.n.111.o 11111 1'11iicn v;1lor de ri.dr.rêncitt, logo 
converge pitri1. o po11l.o r: = lim((:rk) E]\-, cmn .f(xn.r:) = lim .f(1:k,((:r:k)) =O. J\ssim 
e:::--= ~(:i:o) e~ é conl.ín11a. 
7.-1. Parn l.oda scqiiência r!c pont,os Xk = rr(xt-,,111.·) E 7r(P) cnm lim1:k = CI-, de 
(Ti-, )lk) E F segue-se que yi, E Ií. Passando a 11111;1. s1i1Jscqi'1f,11cia: lim v1.- = /1, logn 
kE:W 
lim (x1 . .-, 1/k) = (a, li) E F, pnis F é rcchado. Enl.i'io n = rr(n, /1) E rr( ['"), pnrt.anl.o ir(F) 
J.:.Eil' 
é fcch;ido. 
l 
8.1. Com dcil.o, se d(F, G) = O cnl.iiq çxisl.c111 scqiiências de po11l"1s T" E F e 
!/k E C: !.a.is q11c /xi. -y;-/ < 1.:, lop;o lirrilxk _,,;;1=Ó111<1s, como f(:r,;,) =O e .f(y,,) = l, 
l.t'm-sc lf(xi.-) - .f(y;-)1=1 e nssirn f não é 1111if'ornll'n1C'11l.c coni.ín11a. 
8.2. Dado E> O, f'.xist.c ô >O tal que y, y' E Y, l!1-7J'I < ,\ '* /.f(y)-- J(y')I < E:/2. 
Sc_i;irn agorn x, x' E X com J:i; - x'I < rí. Existem scqiii·ncias d<' pnnt.os Jh, y;_ E Y l.;iis 
que li 111 Jh = x " lim y~ = x'. Par" t.odo k s11 ficicnl.cnlf'r1f.c f-',l"il lldc, l.cn1-sr !'yk -y~ 1 < IÍ, 
porl.aut.o /J(y1,)- J(y~)/ < t:/2. Então /.f(x)- .f(:r:')I ~ lin1 l.f(11i) - f(y;,.)/:::; E/2 <E: 
Portanl.o .f: X -t IR" é 11niformcmcntc conl.ímm. 
8.:J. Se /(X) fo0sc ilimitnrlo, pararnrbl.:ENcxisl.iria1;iEX tal q111' l.f(:rt)I > k. 
/\ sf'.qiiênciil (f (xk)) 8ssim olil.ida nii.o possniria s11lisc11iií•11ci;i. r.onvcrgcrJt.c. l\·las como 
)( t~ li11iil.;-ido 1 a scriilência de pontos .7'.A: E .X U!ri<t 111na s11hscqiif.11r:ia convcrgcntc 1 por-
1.;inlo rlc C;i11r:hy. E 0cndo .f nniíormcmenl.c c0111.írn1;i., ;i s11hsc.qiiC,11cia. cnrrcspondC'nl.c 
(J(xk))i-Ew scrii1. dr C;inchy, logo convcrgcnt.c. Esl.:i rnnl.rarliçiio 111osl.ra qnc .f(X) 
deve ser limil.arlo. 
8.1. Se Xk,1/k E X siio bis q11c limJxi· - wl ~' () 1·111.iio li1n l.f(T1.-) - .f(!J1.-)/ =o(' 
li111 l1J(.Ti·) - _q(y;,)/ =O. Como IJ(1:k) + g(xk) -(!(11,) -1- n(•Ji·lll::; IJ(1:,,) - !(111)! ~­
/_q(:q) - .'7(yk)J, segue-se que f + .'I é nnirormcmcnl<' cont.í1111a. /\nalogamcnl.c, se 
J 80 Soluções dos exercícios 
lf(xJI :S A e lu(:c)i::; 1J par« Ludu x E X, e11liiu 
lf (:i.:i.) · u(xk) - I(!Jk) · y(yiJ\ = 
= IU(:i:1,) - f(yd) · y(i:iJ + f(yk)(y(:ck) - u(yk))\ S 
:S lf(xi.) - f(yc)I · 13 + Jl · \y(xk) - u(vk)I 
Cap. 10 
Joudc liw(J(xk) · u(:t:c) - I(yk) · <J(yk)) = U, logo f · 'J é u11ilúriuc111e11Lc rn11Líuua. 
8.5. Sejam v = :é - :i: e w = u - i. Devcmos provar q11c (-u, w) 2: U. P<Ha Ludu 
l E [U, l], Lemos jv\ s \v + lwl pois V+ lw E e. Elcva11<lo au quadrcúlu, oble111os 
\u\°1 :S iul 1 + 2l(v, w) + 11 · lw\'1 . Simplilica11do co11cluí111u:; q11e t[tjw\' + '.!(u, w)) ?'O 
parn todo l E [ü, lj. Daí rcsulLa q11e (u,w) 2: O pois se fosse (v, w) < ü c11Li1u t<.:ríamus 
t[l\wl 1 +2(v,w)) <O para tudo 1pu:;iLivu,1ne11or duque -2(v,w)/\w[ 1 . 
8. G. l,ur tl.!J, Le111os (y - :é, :e -- :e) :S U e (i- ·y, y - .iJ) :':'. ll. J\ scgu11d a desig11<1ldiJ.de 
c:;crcve-se (Y-:i:,ij-y) <:;O. Su11Ja11do-aco111 a prilllcirn, ve111 (ij-:r,:i:-:í:·i··ií-v) :S O, 
donde (iJ - i, y - :i.:) :S (iJ -- :i;, !J - :1:). l)or Schwar:t.: liJ - :é\ 1 :S 1ü - :i:\ iY - :i:\, lugu 
lú - xl :S lv - :i:I. ' · 
!l.l. A aplica~:iiu J: X _, s"- j' dcliuida por rf(:r) =;o.x/\xl, é cu11lí1111<L L! IJijeLiva, 
lugo é u1u homeomorfismo, pois X é curnpaclo. 
9.2. Dcliua f: sn-I X 111: -·} ~t" - {ü} puudu J(:r,l) =e'. X e uLscrve l}llC 
'J'. 111:" - {O}-) S'"-l X IR, dada pur u(y) = (i~,,ôrlv!) é a Íllversa dco /. 
ü.3. Cousideru ;_·L cu111pusi\tiu das ~tplici:\\G(;s a.Laixu i11dicnda::;>: 
S"' X 5"'-) S'" X [!J;',.1" __ , S"' X li{ X ~t"-) (ll{'"+ 1 - {U}) X [!J;"-) lft'" 1 " 1· 1 , 
u11de a Lerccira é J;1da peiu L!Xercíciu (l11Leri0r e iLS dt.!111ais sàl) i11Leir;_lJ11~11Le ú!Jvias. 
'l'udt.L':j sãu ho111~1Búrlisn1os solire suas i1nugen.s. 
' tL·t. )( fr~ re1111i;\u de dt1ns circu11l'0rênciü.s cout u punlo a e111 cutlllllll e)/ 6 11111 
illtervalo aberto d:t rela cujo IHl11tu lllédio é 6. 
!l.5. Seja/: X - \u) -> \/ -- {&} um lwmeo111ürlis1110. 1Jeli11a F': X-; V pundu 
F(x) = f(x) se :i: j. a e F(cr) = li. Cuu10 X é co111paclo e F é uurn l.•ije\:iw, i>asla 
provar que Fé co11LÍlll1a, 011 sej<>, '111'-' liwxk = u => li111 f(xk) = u (u111.k x, E .X-(u} ). 
Curnu Y é cornpaclu, basta lllUslrar que b é o ÚHico valor de udr,r()11c1<1 da scqi"1ê11cia 
(J(xk)). Ora, se fosse lill1 /(xc) = d i= u leríamos d =/(e), e E X - {u} e li111 Xk =e 
>. kEW l~G.f'I' 
puis J- 1 : l' - (/J}-) X - {ii} é rn11Lím1<1. lvla.s devia ser li111 :ck = u. Fiual. 
kEN' 
; 10.1. Fixau<lu u. C: X, Lc111us X = LJ Cu,, urna re1111iilu de c011ju11Lus coucxus 
:cEX 
com o poulo u. c:rn cou1u111, log,o X é coucxu. Hecíproca óbvin. 
lll.2. Cu11sidcre e111 llt" lllllil réL<1 r q11e não conlcrdrn " J1e111 ú. Dados :r, !J E r, 
us cuuju11Los (a,:i:J U [:r,/J) =A,." Au = [a,9J U [v,11) Lê111 ape1111S us puulus i<, /, Cll< 
co1111ur1. Supo11do, por absurdo, q110 11culium dos A,, :r E r, estivesse nJ11lidu c111 
ift" - Z esc:oll1críamus, para cada :r E ·1, 11111 po11to J(:i:) E: A'" n Z. Isto ddiBiria u111it 
aplicaçiiu injetiva f: r -1 Z, o q11e ui'to exisle pois/, é c11u111cr<Ível e,.· 11<\oó. 
10.::S. Sejam ll f ú e111 8 1 l! «' f &' Clll S''. E11Láo S 1 -- \a,u) é dcsCOIJUXU lllü" 
S" - {a',I/} é i:Olil!Xü, hu1!1L!OlllUl"fu a S 1 X IR. 
10.4. Um s11bcu11j11J1Lu de 11<, para ser homcomorl'u ll s' dcveria:;cr COlllj)ilClü e 
cu11exo, logo seria lilll iulcrvalu [«, úJ, o qual Jica descouexu pela rl!11wç\c.• de• u111 po11lo 
iuLcriur, u1as u ;-e111uçiio de qualquer um dos seus ponLus "''º dcsco11cda 8 1. 
C1111i11hos diferenci<Íveis 181 
10.5. X é ;i. rc1111iiio dos dois eixos r.oorrlcnnrlos mnis a liipérholc :ry = 1, logo 
Lc111 J corn poncn!.<cs concxns. 
11.l. O ponto csscnci;il é oliscrvnr qnc se J: _y· ... , IR",; 11niror111cmc11l.c conl.í1111a 
cnl.;)o l.oda sr.qiil;nci01. de C;u1cl1y (:i:;,) e1n X é t.rn11sfon11:1d;i por .f 1111m;i scriiiê11ci:1 
de C:rncliy (.f(:i:1,)). Porl.nnl.o, se lir11xk = n c111.;,,, c:xisl.c limf(x,.) = /1 pois l.od:t 
scriiii':ncia rlc Ca11clry c111 IR" é cn11vcrgcnt.c. () lirnil." /, 11:10 clcpcrHlc eh scriiiê11ci01. (:1:,.) 
escnlliida pois se li111 yk :::::: a 1·ai11da co1n J/k E )( 1 a sc'.qii(;ll<:ia (;1: 11 y 11 ;,:-21 712, ... ) ai11cl;1 
co11vcrge p;un. n., logo é de Cn11clty, e sua irnagc111 (I(:i:r ), J(:r;r ), .f(:i:1 ), .f(:rti), ... ) e' 
rlc Ca11cl1y, e l.0111 a s11hsr.qiiê11ci;i. (J(:i:i,)) convcq'.indn p;u;i /1, lngo lirn JCnd = /1. 
Portn.nt.o :i:k -t n. * J(x1 .• ) -t /1 e daí },0;;, .f(:i:) = b. 
11.2. Pdo exercício :interior, parn todo :i: X rxisl.c lirn J(y) = P(.7:). bl." 
y-~;r 
define P: X -t IR". Pnr;i l.odo E > O rindo, t.011H'-Sf! rÍ > O t.;i 1 q11c y, y' E Y, 
l!i - ;/[ < <Í =!> IJ(y) - f(y')I < t:/2. J\p;ora, se .1:. / E X c [1: - :t:'[ < J, l.0111a111os 
scqi.rênci<i.s (y,J e (y~J r.111 Y, com lirn !/k = :r. e li111 y;. = :r'. Ucsprc;m11rlo alµ;11fls 
Lermos iniciais, porlcrnos s11por q11e [!!k - y~[ < 11, •>11tk [J(?Ji) - .f(!l; .. )I < t:/2 par;i 
l.orlo k E 1\1, loµ;o lf(:r.) -J(:i:')I = lim [f(yk) - J(J;;.)I :-;: <:/2 < t:. 
( 
A· ~ - ( ) /· ( ll O n.1 11.3. Scjap z) = oo·l-n. 1 z+···-l-o.kz-,cornnk /O. T•,11!.;io l' z = z- zl· + zk-I 
(1.J.·-J ) l + · · + -· - ·I· n.k e~ z ·('f'(,:) +a;.), onde li111 •p(z) e" O. [,nf'.O li111 JI(.:) = CXl. 
z z:-• ....... , ::---~f")O 
11.1. Sabemos qur., para t.orlo c: > O existe 1\ > O 1.nl qnc /. E IR, O < [1.I < <Í =:.' 
l"";.it - li< E. Tom.indo crn IR" a 11nr1na do 111:íxi111n, e s11po11do J < 1, vemos 'l'"' 
1 1 
e 1 1 e 1 scn ( :r.1 . :r:2 .... r") 1 () < X <a =!> Xr · :T.1 · · • :i:., <o =} -- [ < E. 
X!· :1;-z · · · :r 11 
11.5. Sejarn cr; 1rnrn. coordcnada nii.o-n11la de v e (J, :i cnordr.11nda cnrrcsponrlr.11(.c 
1 .'J( .) .. /Q 1 1 1·1111 J(x.) ~- [!:_ · 'I' /(J de vo. Bnt;)o irn :i: ·a; = ,,; , r nm e - n111c ,.,. = n:; , . 
. r-~n · ;i:--111 (\'; 
2 Caminhos diferenciáveis 
l.L Tcmns n. = li111 l.1., com lk f- a. e .f(I.,,) ~ /, p;ir;i l.odo k E N. Porl.ant.o 
( ) . ( ) '( ) . f(lk) - J(a.) . {J - /1 f" = l1rnf l.i. = b e f " = l11n = [1111 -- =0. 
k-~oo lk - a 1.·- ''''" l.1.- -· n 
1.2. Para todo 1. E l, l.emos J(l) = (:i;(l), [x(l)i), co111 J(r1.) = (0,0). Porl.anl.o 
a é 11111 ponlo no riu.il [:i:(l)I assume seu valor mínimo, logo ;i derivada ria funçiio 
l H lx(t.)I é zero p;i.rn t =a.. Corno -[:r.(l)[ :; x(l) :':: [x(I)[ p;irntodo /., scg11e-sc q11c 
:i:'(a) =O. Logo .f'(rr.) = (x'(a.),lxl'(a.)) = (0,0). 
1.3. Na verd;idc, como J(I.) + J"(I.) = (0,0,1). csl.0. po11l.o j;í. pcrtPncc no eixo 
vcrlical de lfl:·1 . 
1.1. Tcrnos.r/(t) = (-n.hscnbl,alicos/1L,r:), lnr·." Jy'(t.)J = Jaº1 P-1-c2 . J\ssirn, a 
rclnçilo pcd ida é n. 2 b2 + c2 = l. 
2.J. 1\pliq11c o Tc'ornma ele n.ollc à f11nçiio tp: [o,liJ -) IR, rlcfi11idn por tp(/.) 
/J(t.)12 _ 
lô:2 Soluções dos ex~rcícios C:ip. 10 
2.2. Simplificamos a uuLaçiio, cscreveudo x•y cu1 vez de cp(x, y). E11Lãu pudetuus 
ver que 
fi(t + h). h(t + h) - fi(t). /2(t) = 
=fi(l + h) • lf,(l + !t) - }Al)j + lfi(l +li) - fi(l)J. /l(l). 
l)ividiudo por li e faze11do lt -1 O V<:lll IJ'(I) = f;(t) • /,(1) + f1(l) • J~(t). O C<iso 
Je aplicaçues JJ-lilleares seg;ttl! as u1csrnas liultas: se y(l) = fi (t) • · · • /,,(l) c11Láu 
l' 
c/(t) = I.; ft (t) • · · · • f[(t) • · · · • J,,(t). Quanlu ao dcleruiioanle de urna 1rnlL1iz 
j~] 
JJJ.. x rn, Ua.st.a uoLar tjlll! ele é u1iln lúu~'ào Ht-liuear dn~ li11l1a.s des::>a iuaLriz, a qual 
ussu111c u valor 1 na tualriz. ide11Lidadu 1n x ·11t. 
2.3. A aplirnçiiu !J é dil'cre11ci:ivel (d~ fato, C'00 ) porq11e é a cumposLa l H I(l) •-1, 
(f(l), ... , f(l)) _'.!'_) f(l) 1', uude 'f'· ut"" X··· X lll:'°
1 
Ó a :tplica<;itu /.:-linear daJa pc:iu 
prudulu de uw.Lrizes. 
3.1. 'lb1I1us lf(li) - /(u)J = 1 J:'.' /'(t);ltJ :S J:'.'.IJ'(t)J<lt :S J.'.' <p'(l)dl = <p(iJ) - <p(a). 
3.2. Aplique a cada 111ua d:L' lt111ções-coordeuada: du u1u1iuho J o n.:sulU1Ju 
corresponJeule j:i pr~:lo uu Vo!t1111u 1 (pag;. l:.l5). ,; , 
3.:.J. Nole que 
(I(&),y(u)) - (I(n),y(a)) = [ 'P'(r)dl., 
011Lle ip(l) = (f(l),y(I)). Ouservl'. ai11da 'JllC ip'(t) = (f'(t),y(t)) + (I(l),y'(l)). 
3.'1. De u111 l!ludu (',l'rcd, se 1\: IR"' -1 ~t" 6 u11ia Lrn11srur1n<H;iiu li111::1r t.: I: 1 -1 ITT'.'" 
i: u111 caminho c11Liiu l H A·I(l) 611m ca111i11!to Clfl IR" C:Ulll J:'.' 1\·f(l)1Lt = A-J:'.' I(L)cll. 
isLu se vê direLa11t<.:uLe; a purLir d:t tlefiuicJio de inLcgnd de u111 c:1111inltu. r;u1 ~ei;11ida, 
nuLe que ·w 1-> ·11 x ·w é 11111 úpera1 lor liu~ar t~111 lR:1. 
3.5. J\q11i 11san.!111os uu1 re.su!Ladu clc1nc11Lar sobre cu11j1111Lus cCJ11vexu.s, a ::;er 
Jemu11sLraJo llü Capílulu :.l (Tcurema 7): se A e llt" 6 COl!VCXO e Ü[ + ... + Ük = l 
k 
00111 t..t 1 2. 0 1 ••• , ü1.: 2: U c11Lil.o x 1, ... 1 :c1-.: E A =.:} L o,:i,· 1 E A. D iiÍ rcsu!La que 
1 :::~ l 
s" (l'i:) é urna scqiiência de 1><1rl.ic;ues ponlill1adas de [ú, &J cu111 li111 Jl'A-I = lJ enlfto 
-. -
1
-L,(J, l'k)= L, (·-1. _J_ · /; /'1;) (;\ p<ern lodu i.:El\I, purla11l.u - 1-;·l• f(l)dl = U-U u-LL /,-<1 . ., 
lilll -
1
- "'°(!; l',,) E if. 
k··1uu V - <t L__; 
4.1. Para Luda p:inicJiu ]' º' (" ~ lo < t 1 < · · · < li. '" ú) Lcm-se \U - AI :S 
t(f; 1') '.S t(J). Co1no t(I) = IU - AI, scg;ue-sc que t(f; P) = JU - Ai ltesulla 
rnLiio do Exercício 1.2 du CapíL1du l q11e os po11Los A = f(lu), /(1 1 ), ... , /(lc) = lJ 
csLão JispusLos ordcnadan1euLc subre o scr;rne11lo dü rda ;[ JJ. Eulão, par<L ludo 
l E [«, /11, LClll-Sl! /(l) = 1\ -1-<p(I) .. ,,, CUlll V = JJ - A, l! il ru1u;iiu o.p.: [((,ui ·-) [ll, bJ 
é nãu-Jccrcscel!LC. CulllU I E c: 1' segue-se cio l~xercíciu l J .S qm; <p 0 E C 1 e, COlliU 
t': 11i"1u-d1.:crc"ceuLe, •/ :'.: U. Lugu f ú Ullla repar:uncLrizai;ãu do c:u11iul10 retilint.:u 
/(l) = A+ t · u. 
4.2. ::lcja y: [O, LJ -> IH:' lal que y'(t) = /(l) para lodo/. (i\s f1111çõcs-cóurclcnad<1 
<le g sii.o priu1iLivas das Jc f .) Euliio t(y) = J~- jy' (t)Ji.ll = J;:· lf( t)JJL = J~1' dl = L. Por 
oulru lado, ousenanJo que 1 J~'· f(t)dti = L, vemos que lu(L)--u(U)j = 1 J~L y'(t)ilij = 
Scç;'ío 3 F-tmçêics reais de 11 vari<Íveis 183 
1 _rr:· f(l)d!J = [,. Pelo cxcrc1r;10 anterior, t.emos .'!(!.) = q(O) + 1p(l) · v, com v = 
q(L) - 9(0). Lo{!;o 1 = IJ(t.)I = l,q'(l)I = J1p'(t)I ·/PI co 1/(1.l · H pois rp';::: O, j;l q11e 1p 
nií.o n111da de sinal, 1p(O) =O e 1p(!,) = l. J\ss.irn, <p'(t) = 1/1111 ,·, cn11s\.a11l.c e o mesmo 
se d;\ com J(t.) = •p'(l) ·li. 
11.3. Fixmlfjo a EU, seja;\ o conjunl.o dos po11\os rJ,, (/ q11c porlcrn ser lil.(ados a 
a por 11rn caminho poligonal conLido cm U. ]~ fficil ver que;\ (, alierl.o e q11c t.a111hé111 
é alicrl.n o conj1111l.o lJ dos po11t.os que nii.o podc111 ser li1~;Hlns ·;; rr por 11111 c:1.1ni11l10 
poligonal cont.iclo cm U. E11l.iio U = ;\ u· JJ é nnrn cis;in. Co1no [J é r:iJ11cxo e ;l f 0, 
~1)µ;11c-se q11c U = i\. l~vidcn\.cmcntc t.ndo caminho poliµ;o11al ó n,t.ilic:iv0l. 
1.4. I~ claro q11c J:i: - n.I ::; rlu(J:, a) logo li111 d11 (:i:,., rr) •-~ O => li111 Tk = (1.. l';u;i 
provar a rcc:Íproc;l, bilsl.a observar que se IJ = IJ(o; r) 1\ 11111a linla alicrta c<mt.ida c111 
U cnl.ii.o, para pon\.os :T.k E /J, (.cm-se rlu(xk,a) = I:"<· ... "!, Jlllr\.;111\.ll li111:ck = rr. ==>lim J:ck - rrl = O ==> lirn du (:1:1., n) = O pois Xk E 11 p;ir;1 \.ndo 1.: s1dici"nt.c1ncn\.1, grande. 
3 Funções re<iis de n VClriáveis 
1.1. Se :1: e :i: + l.c; pcrt.cnccm ,,. U c11t.~.o [x, :1: 111·;J e IJ ·~ !(:1: + lc1) - f(1:) 
Of 
-;--(.1: + 01.c;) ·/.=O, orido O< O< l. 
1):1:; 
l.:l. 0ois ponl.ns <]l1'1isq11"r de lima \ioi.-l JHHll'lll SCI' Ji1~a.Jrn; por lltn CillllÍllhO 
polignna.I contido 11clil, o q11a.l l.em seus lados pa.rn l1·los ans eixos. Segue-se drtf, pe-
lo ari;11rn,,11l.o usndo 110 Exercício -1.:J do Cn.pft.1110 :!, '!''" o 111cs1110 ocorre c111 qn;il-
qucr rt.hcr\.o conexo. Fixando a E U, prtrn \.orlo po11\o :i: E / 1, 1111i11dn-o <io ponl.o 11. 
po1· 11111 uuninho desse l.ipo, cm cada segmento rdilí11ro do c;l111i11l10 v0ria a.penas :t 
i-rsi111n coordenaria e, como iJJ =O, a f1111ç~o J sr 1na.11l.é111 r:n11st.nnf.<C <10 l1Jng-o df'ssi; 
<7:1: i 
s<CgmcnLo. E11l .. 'io .f(:c) = J(a) pnra (.oda :1: E[! e J (: co11sL:rnLe . 
. 1.4. Seja M ~ 1 iJJ (:1:)1 parrt t.odo x E U <' l.nrlo i oc 1, 2, ... , n. Dados x, :i: + 
D:i:; .· ' 
V Eu! COlrl V= (cq, ... ,etnL dcf111arnos Vo,1J1, ... ,1'11 E ~ 11 poudo Vn =o e 1Jí 
11; .. 1 + CY;C; pnra·i = 1, ... ,i'l, de lllodn q11e 1!,, =li. EnL~n J(:r, + v) - J(x) 
" L .f(o: -f. 11 1) - J(:r. -1- v, .. 1 ). Pelo Teorema do V"lor M~din de 11rn~. só v;iriftvcl, t.crn9s 
i=I 
IJ!:1: + 11;) - .f(.7: +Vi- 1 )! = ~ (z) · n; , onde z E J11,. 1, 1•;]. Lnr':n !.f(:i: + 11) - .f(:r)I :C: 
l 
')f 1 
rh; 
" 
/11 · L ln·d e <bí rc:s1ili.a '1 rnnti1111idadc de .f. 
i~l 
. . _ o J . 1 ( 1 n)2 t(3 cr 2 (3 
2.1. Seu= (n,(J) cnl.;io i);(O,O) = )~;,1, l · (ln~Y + (lfJ)" 112 + (P p<1ra 1.odo 
. DJ âf 
v 0 O. E1n prtrltrnlnr, ~(O, O) = O e -(O, O) = O, lof'.o gr<Jrl J(O, O) = O. Se J fosse 
o:i: üy 
rlií"n'nr.iávd no pnnt.o (O, O), t.crínmos ~~(O, O) = ( i~rnd /(O, O), 11), n q11i; n~o ncorr<'. 
2.2. J\ co11rli~iio ~))1_(11.) >O seu E S"- 1 implic;1 'f"" [(tu.)< {(11.) pnr;i l - t: < 
( ll ' 
l < l <' t: >O s11ficient.c1m::nl.e pr.q11enn. (Cír. Tcon~1ri;1 •I dn C:ip. R, vol. 1.) Por\.;inl.n 
o mínimo d<' J(x) para J:i;J :C: 1 é atingido 1111111 pn11\.o n. lal que !ai < l. Cnt.iio 
l 04 Soluções dos exercícius Cap. 10 
y(l) = J(a -1- lu) lcw, para Lodo v E lfl:", un• mí11i1110 l0c;d q11«wlu l, U, logo 
iJf (a)= <p1 (0) =O. 
Uti 2.3. Tcn1-sc J(O) = li111 J(l:c) = liru l · J(x) =O. Logu, p<ira ludo v E llt", 
t-rui· t-1-u+ 
D I f ( 1u) . lf (,. J . . 
-(O)= lirn -- = lr111 -- = /(v), ou scp, (grad)(U),v) = f(u). JVl11da11du 
Ou t--;ut- /. f·-101- / 
a nola<Jtu, lc·1J10S J(;;) -..,_~Í f',!"ild J(O), x) p0rt;u1lu I 6 uma fi111<;úo linear de: :i:. /\. 
f1111Çi-tu <p Clllll['l"l: <;J(l:r, ly) ~ / · y(:c,y) para lodo { > Ü lll<lS l!ilO 6 li11ear, IU[';U 11;\u é 
direre11ciável 11u ponlo (O, O). (ül1servaçi10: quando sabc!llus que llltl ca1J1inlru pu>sui 
lirnilc 1111111 pu11lu, pudcl!lUS calc11l;i-lu cu11to l!Jll lin1ile laLcrnl.J 
· ) J. J ,~ u I ( ) . . 2A. J\ igualJadu /(:1: ºº (u. 1- L., ~--(a)· :e; - <L; -1- r(:i:J 1110slra que.,. e lllllil 
iJ:c; 
i),-
ruuçãu Je classe C' 1 , CO!ll -. -((l) : .. : u pilra i =li ... J /L. Í\ cunli1111idadt! da."i derivadas 
Dx; 
~ 110 puulo a eu Tcunc111<1 du \i;dur Méuio nus nsscgura111 cnli10 que:, pura Ludu t: >O 
rJ.c; . • • • 
daJu, existe ó> O tal que [:e - «[ <ó e lv'..:. u[ < J implica!ll [r(:c) - r(y)/ < t:[:c - y/. 
::; 1d.Jtrai11do rncrnbro " lltellluro as dcsigu;ddadcs f (:t) = /,(a)+ ( grad I ("),:e -- a)-1- r( :i:) 
<: J(y) = /(a)-1 (gradf(u),y-a) l·r(y) velll f(x)-f(y) ~ (grad/(1~),:i:-y/+r(x,·y), 
onde, escrcveudo r(:c, y) = r(x) -- r(y), lelllúS i:c - a/ < J, /y - u/ <o => /i·(x, y)/ < 
t:[x - y[. 
a (ºI) 3 1 Con10 -_ --_ . . fü i)y D (ª1) ur u -;-- --;----- ::iÚu iJc11LiCi\111e11Le 1Jula~ 1 ~0_:_ 11c_\.u dependi..! de Uy D..i: !! 
i)f 
:r e -:---- não depr.:udc de y. Fixa11du (:cu, yu) E 1 x J pudcnws c11low ddi11ir ilS 1"11111iJes 
Ux 
iJf . i)f . -
ep. ·} -t lK e f: .J -; ~t puwlu •ç(.i:) = -c--(:i:,yu) = f(y) = -;-(.ro,y), iL~ quais sau 
Ux üy 
Df ü/ 
d11as vezes dii"urellciúvi:is e c1111q1rc111 .P(:c) = -(:i: y) ·,P(y) ~~ -(:e y) J>ilra ludu 
üx ' ' Du ' 
(.r,y) E 1 x J. E11Li\u 
/(:e, y) = J(:i:, y) - J(o:u, u) -1- /(:i:o, y) - /(:i:u, Yu) 1 /(·1:(1, Yu) 
j ., Uf ;·' Uf . e= .. -:--(s,y)1ls ·1· -;--(:cu, l)cll -J· J(ru,yu) = 
i·u Ux uu Uy 
= ;·· .P(s)cls + /Y 0(l)dl + f(:i:u, vu) = •p(:c) l 1/;(y). 
:.i:u UtJ 
•)' / 
3.2. Delina f: ll{ x &k -) ll~, pundu J(:c, y) = y(:i: + y, x - y). Verifiqu'-' q11e _De .D 
:e !J 
é i<lellLicau1e11Le nula e aplique o l.'Xercício auLeriur. 
3.3. Derivamlu d11as vezes cu1 rela1;ão a l, a ig11ald;ulv J(t.t) = t' · /(:r:) 11us <1:, 
1 ~ u1 J 
J(:c) =? L -. -.-.·~(l:c)x;:i:j. 'l'u111<111du ú limilé qua11Jo l -) O prn ~alurc;s pusilívus 
_, i,j Ü.t:.iÜ.Lj 
-, l D~ J 
chegrunus i.\ f(x) .:._-::.. Lui;:r,:cj 1 uttdt~ u,j::.:.:. - -.-.-(0). 
2 UX;U:Cj 
ü ') 
3.4. Tu11u: a.s igualdaües (f(:i:), ~(:i:)) = O, (f(:c), !...:.!'..(x)) U, deriV•! a 
iJ:i:; 1J:r: J 
pri1ncira eJI1 rcLu;Uu a :i:J e a SL'gu11t.Li. e1n n..:Jação a :z:,. Use Schwarz. 
Seç5o 3 Funções re<11s de 11. variáveis 185 
'1.L Isto é óhvio para k = 1, pe!rt própri;i. dcfi11ir;;111 de rliír.rcnci;i.bilidndc e, pnrn 
k = 2, foi prov;i.do 110 l.cxl.o. No Cfl-'iO gcrnl, pch hip«1!.1;sc d" i11d11ç:1.o, considcr;rndo 
J • 1 · · Dr 1 - · 1 1 . 1 • que n.s e envrl( as pnrc1i"'\1s -. - :::>e ;u111 an1 1 Jll.nLo co111 l.oc ;is í"'\.C) S11flS r <;nvnr as at.r. a ,. Dx, 
. . \ gmd 1·(r)\ 
ordem k - l, 110·.pont.n O, conc\111-se <Jlle hm -· -k-· ------ = O. Orn, pelo Tcorc1n;i do 
"-JO \.i:\ --1 
V;i.lor Médio, p;irn (.oda .i: 1111111;i. bol<t de centro O cnnl.ida "'" U, existe () E (O, 1) 1-nl 
<]llC r(x) = r(:r.) -1-(0) = (grnrlr(l)~:),:r.), logo 
\(r;radr(O:r.),:r.)\ < \ r,r;uh(O:i:)\ 
Jxlk -Tr~ 
\i-(x)\ 
portanto lirn -
1 
\k = O. 
:r.-40 1; 
4.2. Sig;i "-~ rncsma.s li11h;is eh rlcmo11sl.raç;in do Tcnrc1J1a :, (C;qi. '.\), f;izc11do 11so 
l éJ'f 
do <:!xr:rcíc:io anl.crior e oh~nrvanclo rinc, llíl. ~xprr.ss.~ci ~ L ~-.-_-. -.)---. (n)n·injfl'J; a 
.L ;_..;,t ().1, 1rJ.1 1c ·'·h 
i.-ésin1<l vn.ri<iscl o.: ocorre c111 3 p<lrcclfls (c:o1nn ] º, T' 011 T .. rnt.nr) 1 lnµ;o a dcriv;1da 
1 - i t • t • . , . . • 1 , - i J ,~ n" J ( l .. essa exprcs~;io rC' a.1varncn .r. ;-is11a1.-r.s1tnl\ van;1vr e w:11;:1 ;1.-;- L. . . fl. rr1n-~=. 
2 .1.I- 1/:i:,ih:;ri.1:1, 
O u1so ~rr"l e' "nálnr,o. 
5.1. Se [hijJ é" m;itri?. da Ínrma 'l""dr:ític;i li t'!l(.~n /1;, = rr. 1i2, C0111 11 = 
<~; = (O, ... , l, ... , O). l'or!.a11l.o os elementos da dia1',1111:il d:i 1J1<il.ri" de 11111<t fnr111;1 
qnadr~.t.icn. posiLiva (ou ncg0liv;i.) sfio todos n1l1ncro~ pnsitivns (rn1 11cp;:1Livns) e ossi111 
"11n sorna niio pode ser ip;11:il " zero. 
5.2. Seja X o cnnj1111t.n dos ponl:os de máxi1110 Inca\ <'sl-ri!.n de I- D:ido :r. E X, 
cxisl:c ttm<t hola 13(x; 2il), cont.ida cm U, tal fll!C y E /J(:1:; 2rl), ·.11 =/ J: =:- J(y) < J(x). 
Escn\h;11110s, para c;ich x E X, 11m ponto í/oc E Q" n li(J:; cl) e 11m n1·1111cro rai'.ional 
1·'.i: > o t.al qnc J:r. - \q~:f < T·.T <.ó, port.a11Ln /J(q:i:; 7'.'l:) e //(:1:; '2(5) r rl<lí y E JJ(']:1:; 1"·i:L 
)i f :r. =~ J(y) < J(x). t\ corr~~poJ1d~11cia :r. H (q,,r,.) (: injc!.iva pois sr, <J.r. = q,,, e 
r." = ,."', en!.iio :i:' E 13(11"';1·.,) e :i: E D(q"'';1·.,, ).: Se fossr :i: i :i:' 1.rrÍ;imos f(:r:)' < J(:i:) 
e J(:r.) < J(x'). 
5.1. Cn1t10 r;rn.d .f(x,y) = -2scn(:r:2 + y 2) · (1:, 11). "·' pn11(.ns críLicos rk J silo a 
0rigcm :1: = y =O e os pn11l.os das circ1mícrência!" com cr:-nl.ro n;1 nrigtCm e rnins ig11;1is 
;1 ../G, /,: E 11:1. Q11ant.o ?t í1111çiio g(J:, y) = J: 3 - :/ - :r + !J, cujo grndicn!.c é o vcl.or 
p,r;i.d r7(~:. y) = (:l:r. 2 -- .1, --3!!2 + l ), sua m'1l.riz ltrcssi;i11;i t': J{!/(J:, y) = [(~;: -~J. Os 
ponl.ns críLirns de <J silo ;\ = ( J',j:J, /1/3), D = (-J'i/:L J'i/3), C = ( vf\/3, -Vl/:l) 
e /J = (-./Jj:l. - ./Jj:l). Nrsscs pontos, a matriz ltrssi;ill" d.-, <J ;iss11mc cm\;i. um 
dos 11 valon~s ['l:~JJ ±
2
ºJ}], os sin:iis