A equação de demanda de um monopolista é p = 200 - 3x e a função custo é C(x) = 75 + 80x - x2, 0 < X < 40. (a) Determine o valor de x e o preço ...

(a) Para determinar o valor de x e o preço correspondente que maximiza o lucro, precisamos encontrar a receita total (RT) e a função lucro (L). A receita total é dada por RT = p * x, onde p é o preço e x é a quantidade produzida. Substituindo a equação de demanda na equação da receita total, temos RT = (200 - 3x) * x = 200x - 3x^2. A função custo é dada por C(x) = 75 + 80x - x^2. O lucro é dado por L = RT - C(x) = 200x - 3x^2 - 75 - 80x + x^2 = -2x^2 + 120x - 75. Para maximizar o lucro, precisamos encontrar o valor de x que maximiza a função L. Para isso, derivamos a função L em relação a x e igualamos a zero: dL/dx = -4x + 120 = 0. Resolvendo para x, temos x = 30. Substituindo x na equação de demanda, temos p = 200 - 3x = 110. Portanto, o valor de x que maximiza o lucro é 30 e o preço correspondente é R$110,00. (b) Se o governo impuser um imposto de R$4,00 por unidade produzida, o novo custo será C(x) = 75 + 80x - x^2 + 4x = 79 + 84x - x^2. A nova função lucro será L = RT - C(x) = (200 - 3x) * x - (79 + 84x - x^2) = -3x^2 + 116x - 79. Para maximizar o lucro, derivamos a função L em relação a x e igualamos a zero: dL/dx = -6x + 116 = 0. Resolvendo para x, temos x = 19,33. Substituindo x na equação de demanda, temos p = 200 - 3x = 142,01. Portanto, o novo preço que maximiza o lucro é R$142,01. (c) Se o governo impuser um imposto de T dólares por unidade produzida, o novo custo será C(x) = 75 + (80 + T)x - x^2. A nova função lucro será L = RT - C(x) = (200 - 3x) * x - (75 + (80 + T)x - x^2) = -2x^2 + (120 - T)x - 75. Para maximizar o lucro, derivamos a função L em relação a x e igualamos a zero: dL/dx = -4x + (120 - T) = 0. Resolvendo para x, temos x = (120 - T)/4. Substituindo x na equação de demanda, temos p = 200 - 3x = 200 - 3(120 - T)/4 = 170 + (3/4)T. Portanto, o novo valor de x que maximiza o lucro é (120 - T)/4 e o novo preço correspondente é 170 + (3/4)T. Para determinar a arrecadação do governo pela cobrança do imposto como uma função de T, precisamos multiplicar o imposto T pela quantidade produzida (120 - T)/4: A(T) = T * (120 - T)/4 = (T/4) * (120 - T). Para maximizar a arrecadação do governo, derivamos a função A em relação a T e igualamos a zero: dA/dT = 30 - (1/2)T = 0. Resolvendo para T, temos T = 60. Portanto, o valor de T que maximiza a arrecadação do governo é R$60,00.