Sejam o plano π : a x + b y + c z + d = 0 e o plano μ : 2 x + y − z + 2 = 0 . Sabe que os planos são paralelos e que o plano π passa na origem...

Como os planos são paralelos, seus vetores normais são paralelos. Portanto, o vetor normal do plano μ é um múltiplo escalar do vetor normal do plano π. O vetor normal do plano μ é (2, 1, -1), e o plano π passa pela origem, então o vetor normal do plano π é perpendicular ao vetor (0, 0, 0) - que é o vetor posição da origem. Portanto, o vetor normal do plano π é (a, b, c). Como os planos são paralelos, seus vetores normais são paralelos, então podemos escrever: (2, 1, -1) = k(a, b, c) onde k é um escalar. Como os vetores são paralelos, podemos escolher um componente para igualar: 2 = ka 1 = kb -1 = kc A partir da terceira equação, temos que c = -1/k. Substituindo em 2 = ka, temos que a = 2/k. Substituindo em 1 = kb, temos que b = 1/k. Como a + b + c + d = 0 (pois o plano π passa pela origem), temos que: 2/k + 1/k - 1/k + d = 0 2/k + d = 0 d = -2/k Portanto, a + b + c + d = 2/k + 1/k - 1/k - 2/k = 0. Assim, concluímos que a + b + c + d = 0.