Sejam o plano π: ax + by + cz+d=0 e o plano μ: 2x+y-z+20. Sabe que os planos são paralelos e que o plano passa na origem do sistema cartesiano. Det...

Como os planos π e μ são paralelos, seus vetores normais são paralelos. Portanto, o vetor normal do plano π é proporcional ao vetor normal do plano μ. O vetor normal do plano μ é (2, 1, -1). Como o plano μ passa pela origem, temos que d = 0. Assim, o vetor normal do plano π é k(2, 1, -1), para algum k ≠ 0. Como o plano π passa pela origem, temos que ax + by + cz = 0 para todo ponto (x, y, z) pertencente ao plano. Em particular, isso vale para o ponto (2k, k, -k), que pertence ao plano μ e, portanto, também pertence ao plano π. Substituindo as coordenadas desse ponto na equação do plano π, obtemos: a(2k) + b(k) + c(-k) = 0 2ak + bk - ck = 0 (2a + b - c)k = 0 Como k ≠ 0, temos que 2a + b - c = 0. Como o plano π passa pela origem, temos que d = 0. Portanto, a equação do plano π é ax + by + cz = 0, ou seja, a + b + c = 0. Substituindo c = 2a + b na equação a + b + c = 0, obtemos: a + b + (2a + b) = 0 3a + 2b = 0 b = -3a/2 Assim, c = 2a - 3a/2 = a/2. Como a + b + c = 0, temos que: a + (-3a/2) + (a/2) = 0 a = 0 Portanto, b = 0 e c = 0. Assim, a + b + c + d = 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Portanto, o valor de (a+b+c+d) é 0.