Se z = 3 - √3, qual o argumento do complexo z100?

Question

Ed · Answer

Para encontrar o argumento do número complexo $ z = 3 - \sqrt{3} $, primeiro precisamos expressá-lo na forma polar.

1. **Identifique a parte real e a parte imaginária**:
   - Parte real ($ a $): $ 3 $
   - Parte imaginária ($ b $): $ -\sqrt{3} $

2. **Calcule o módulo**:
   $$
   |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 3} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}
   $$

3. **Calcule o argumento**:
   O argumento $ \theta $ é dado por:
   $$
   \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{3}\right)
   $$
   Isso corresponde a um ângulo no quarto quadrante. O valor de $ \tan^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $ é $ -\frac{\pi}{6} $ (ou $ -30^\circ $).

4. **Argumento de $ z^{100} $**:
   O argumento de $ z^{100} $ é $ 100 $ vezes o argumento de $ z $:
   $$
   \text{Argumento de } z^{100} = 100 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{100\pi}{6} = -\frac{50\pi}{3}
   $$

Portanto, o argumento de $ z^{100} $ é $ -\frac{50\pi}{3} $.

Ed · Answer

Para encontrar o argumento do complexo z100, primeiro precisamos encontrar o valor de z elevado a 100. Podemos fazer isso usando a forma trigonométrica do número complexo.

z = 3 - √3
|z| = √(3^2 + (√3)^2) = 2√3
θ = arctan(-√3/3) + π = 5π/6

Então, podemos escrever z na forma trigonométrica:

z = 2√3(cos(5π/6) + i sen(5π/6))

Agora, podemos elevar z a 100:

z100 = [2√3(cos(5π/6) + i sen(5π/6))]^100
z100 = (2√3)^100(cos(500π/6) + i sen(500π/6))

Finalmente, podemos encontrar o argumento de z100:

arg(z100) = arctan(sen(500π/6)/cos(500π/6))
arg(z100) = arctan(-√3) = -π/3

Portanto, o argumento do complexo z100 é -π/3.

Matemática

Se z = 3 - √3, qual o argumento do complexo z100?

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