f(x) = 3x^4 + 6x^3 − 6x − 3 evidenciando os pontos de interesse (caso existam) como máximos e mínimos locais, pontos de inflexão e de interseções c...

Para encontrar os pontos de interesse da função f(x) = 3x^4 + 6x^3 − 6x − 3, podemos utilizar a análise de derivadas. 1. Derivando a função f(x), temos: f'(x) = 12x^3 + 18x^2 - 6 2. Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: 12x^3 + 18x^2 - 6 = 0 3. Resolvendo a equação, encontramos os valores de x para os pontos críticos: x = -1, x = -1/2, x = 1/2 4. Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos locais, podemos utilizar a segunda derivada: f''(x) = 36x^2 + 36x 5. Substituindo os valores de x encontrados na segunda derivada, temos: f''(-1) = 0, f''(-1/2) = -9, f''(1/2) = 27 6. Analisando os valores da segunda derivada, podemos concluir que: - O ponto x = -1 é um ponto de inflexão, pois a segunda derivada é igual a zero. - O ponto x = -1/2 é um máximo local, pois a segunda derivada é negativa. - O ponto x = 1/2 é um mínimo local, pois a segunda derivada é positiva. 7. Para encontrar as interseções com os eixos coordenados, basta igualar a função a zero: 3x^4 + 6x^3 − 6x − 3 = 0 8. Resolvendo a equação, encontramos que a função não possui interseções com o eixo x. Para encontrar a interseção com o eixo y, basta calcular f(0): f(0) = -3 9. Para determinar a abertura da concavidade e as regiões de crescimento/decrescimento, podemos analisar o sinal da segunda derivada: - Quando f''(x) > 0, a função é côncava para cima e temos uma região de crescimento. - Quando f''(x) < 0, a função é côncava para baixo e temos uma região de decrescimento. Analisando a segunda derivada, podemos concluir que a função é côncava para cima no intervalo (-∞, -1/2) e côncava para baixo no intervalo (-1/2, ∞). A função tem um ponto de inflexão em x = -1 e mínimos locais em x = 1/2.