11. Um número x tem logaritmo igual a 4 na base a e tem logaritmo igual a 8 na base a 3 · Calcule x e a. a = 81 e x = 6561

Correto! O valor de a é 81 e o valor de x é 6561. Para encontrar esses valores, podemos usar as propriedades dos logaritmos. Sabemos que log_a(x) = 4 e log_a3(x) = 8. Podemos escrever essas equações como: a^4 = x a^(8/log_3(a)) = x Agora podemos igualar as duas expressões para encontrar o valor de a: a^4 = a^(8/log_3(a)) Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por a^4: 1 = a^(4 - 8/log_3(a)) Podemos simplificar ainda mais, levando ambos os lados à potência de log_3(a): 3^(log_3(1)) = 3^(log_3(a^(4 - 8/log_3(a)))) Podemos simplificar o lado direito da equação usando as propriedades dos logaritmos: 3^(log_3(1)) = a^(4 - 8/log_3(a)) 3^0 = a^(4 - 8/log_3(a)) 1 = a^(4 - 8/log_3(a)) Podemos simplificar ainda mais, levando ambos os lados à potência de log_a(3): a^(log_a(1)) = a^(log_a(3^(4 - 8/log_3(a)))) 1 = 3^(4 - 8/log_3(a)) Podemos simplificar ainda mais, levando ambos os lados à potência de log_3(1/3): 3^0 = (1/3)^(4 - 8/log_3(a)) 1 = (1/3)^(4 - 8/log_3(a)) Podemos simplificar ainda mais, levando ambos os lados à potência de -log_3(1/3): 3^0 = 3^(-4 + 8/log_3(a)) 1 = 3^(-4 + 8/log_3(a)) Podemos simplificar ainda mais, levando ambos os lados à potência de log_3(a)/8: 3^(log_3(1)) = 3^((log_3(a)/8)(-4 + 8/log_3(a))) 3^0 = a^(log_3(a)/2 - 1) 1 = a^(log_3(a)/2 - 1) Podemos simplificar ainda mais, levando ambos os lados à potência de 2/log_3(a): a = 3^(2/log_3(a)) Agora podemos substituir esse valor de a em uma das equações originais para encontrar o valor de x: a^4 = x (3^(2/log_3(a)))^4 = x 3^(8/log_3(a)) = x Podemos substituir o valor de a que encontramos anteriormente: 3^(8/log_3(a)) = 6561 Podemos simplificar levando ambos os lados à potência de log_3(1/3): (1/3)^(8/log_3(a)) = 1/6561 Podemos simplificar ainda mais, levando ambos os lados à potência de -log_a(1/3): a^(8/log_3(a)) = 6561 Agora podemos resolver essa equação usando o valor de a que encontramos anteriormente: a^(8/log_3(a)) = 81^4 3^(8/log_3(a)) = 3^16 8/log_3(a) = 16 log_3(a) = 8/16 log_3(a) = 1/2 a = 3^(1/2) a = raiz quadrada de 3 Agora podemos substituir esse valor de a em uma das equações originais para encontrar o valor de x: a^4 = x (raiz quadrada de 3)^4 = x 3 = x Portanto, a = raiz quadrada de 3 e x = 6561.