ANGLO - Matemática - 8 ano - Caderno 1

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ANGLO
ENSINO FUNDAMENTAL anoa8
º-
1
caderno
MANUAL 
DO 
PROFESSOR
MATEMÁTICA
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8
o
 ano
Ensino Fundamental
Manual do
Professor
Matemática
Adair Mendes Nacarato
Cármen Lúcia B. Passos
Fábio Orfali
1
caderno
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Direção de inovação e conteúdo: Guilherme Luz
Direção executiva: Irina Bullara Martins Lachowski
Direção editorial: Renata Mascarenhas e Luiz Tonolli
Gestão de conteúdo: Henrique Braga
Gestão de projeto editorial: Duda Albuquerque e Rodolfo Marinho
Supervisão pedagógica: Ricardo Leite 
Gestão e coordenação de área: Julio Cesar Augustus de 
Paula Santos e Juliana Grassman dos Santos (Matemática e Física)
Edição: Tadeu Nestor Neto e José Victor Castro (Matemática)
Gerência de produção editorial: Ricardo de Gan Braga
Planejamento e controle de produção editorial: Paula Godo (ger.), 
Adjane Oliveira, Paula P. O. C. Kusznir, Georgia Der Bedrosian, 
Mayara Crivari (estagiária)
Revisão: Hélia de Jesus Gonsaga (ger.), Katia Scaff Marques (coord.), 
Rosângela Muricy (coord.), Adriana de Rinaldi, Danielle Modesto, 
Larissa Vazquez, Marília Lima, Tayra Alfonso e Vitória T. Martini (estagiária)
Edição de arte: Daniela Amaral (coord.), Daniel Hisashi Aoki
Diagramação: JS Design Comunicação Visual Ltda., 
Karen Midori Fukunaga, Livia Vitta Ribeiro, 
Luiza Massucato e Renato Akira dos Santos
Iconografia e licenciamento de texto: Silvio Kligin (superv.), 
Denise Durand Kremer (coord.), Claudia Bertolazzi, 
Claudia Cristina Balista, Jad Silva, 
Karina Tengan, Sara Plaça (pesquisa iconográfica), Liliane Rodrigues e 
Thalita Corina da Silva (licenciamento de textos)
Tratamento de imagem: Cesar Wolf, Fernanda Crevin
Cartografia: Eric Fuzii
Capa: Daniela Amaral
Foto de capa: Eric Isselee/Shutterstock/Glow Images
Ilustração de capa: D’Avila Studio
Projeto gráfico de miolo: Daniela Amaral
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Nacarato, Adair Mendes
 Ensino fundamental 2 : matemática 8º ano :
cadernos 1 a 4 : professor / Adair Mendes Nacarato,
Cármen Lúcia B. Passos, Fábio Orfali. -- 1. ed. --
São Paulo : SOMOS Sistemas de Ensino, 2018.
 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Passos, 
Cármen Lúcia B. II. Orfali, Fábio. III. Título.
17-09178 CDD-372.7
Índices para catálogo sistemático:
1. Matemática ; Ensino fundamental 372.7
2018
ISBN 978 85 468 1319 3 (PR)
Código da obra 824851118
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Impressão e acabamento
Uma publicação
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SUMÁRIO
8
Matemática .............................................................................................4
Esclarecimentos iniciais ............................................................................5
O Caderno 1 ........................................................................................... 10
1. População e amostra de uma pesquisa ................................................................................. 11
2. Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal ........................... 16
3. Ângulos internos nos quadriláteros notáveis ........................................................................ 24
4. Álgebra: linguagem algébrica e situações-problema ........................................................... 28
5. Equações e inequações ........................................................................................................ 35
6. A potenciação e suas propriedades ...................................................................................... 44
7. Multiplicação, potenciação e divisão de expressões algébricas ........................................... 50
8. Triângulos ............................................................................................................................ 55
9. Ângulo externo de um triângulo ........................................................................................... 65
10. Resolução de problemas e investigações matemáticas ....................................................... 69
Módulo Interdisciplinar............................................................................................................ 77
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Ensino Fundamental
MATEMÁTICA
Caros professores,
No 8o ano aprofundaremos as sistematizações matemáticas iniciadas nos anos anteriores; com maior 
ênfase na Álgebra e no pensamento geométrico mais abstrato. No decorrer deste e dos cadernos seguintes 
surgirão inúmeras oportunidades para retomar os conceitos que serão apresentados pela primeira vez. De-
fendemos a importância dessas retomadas em todo o Ensino Fundamental, pois acreditamos que a apren-
dizagem ocorre em um processo de elaboração e reelaboração contínua de significados, e não por meio 
de repetição e mecanização. Além disso, um dos princípios deste Sistema é a ideia de currículo em espiral, 
possibilitando que um mesmo conteúdo seja trabalhado em diferentes momentos do ano e com diferentes 
abordagens, visando à ampliação dos conceitos e das generalizações.
O ponto de partida para esse processo são situações-problema. Será enfatizada a atribuição de signifi-
cados aos diferentes conceitos aritméticos, geométricos, métricos, proporcionais, probabilísticos, estatísticos 
e combinatórios. Isso não significa, porém, que será desconsiderada a automatização necessária, principal-
mente em cálculos e procedimentos algorítmicos.
Também é fundamental considerar que o ingresso na juventude traz novas perspectivas e necessidades 
para os alunos. Pode ser que haja uma inversão no papel das pessoas à volta deles, dando maior importância 
para o grupo, como os amigos, e não mais aos familiares. É a busca da própria identidade e da indepen-
dência, a necessidade individual de lidar com novos espaços, com a escolha da profissão e a administração 
da mesada. Todos esses aspectos, aliados ao grande apelo das atividades de lazer (sair com os amigos, 
participar de conjuntos musicais, de equipes esportivas, explorar a internet, amigos virtuais, etc.) nessa faixa 
etária, muitas vezes podem gerar nos alunos certo desprazer pela aprendizagem e pelos assuntos aborda-
dos na escola. O ensino de qualquer disciplina precisa considerar essa nova realidade e procurar tornar o 
aprendizado prazeroso. A Matemática deve ser mostrada como parte do conhecimento acumulado pelo ser 
humano, com papel central na cultura moderna e com aplicação em todas as áreas da atividade humana.
No ciclo que engloba os dois últimos anos do Ensino Fundamental, o curso não apenas dará continuidade 
a alguns temas abordados anteriormente, mas também propiciará aos alunos a oportunidade de ampliar seus 
conhecimentos matemáticos e utilizar a Álgebra de modo mais sistemático. O objetivo maior é ajudá-los a 
pensar abstratamente, a argumentar e justificar procedimentos com coerência, lógica e clareza.
Os autores.
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Esclarecimentos iniciais
Procedimentos metodológicos
Partindo-se do pressuposto de que os alunos são os 
produtores de seu próprio conhecimento e de que essa 
produção ocorre por meio de processos de significação 
na interação dos alunos entre si e com o professor, este 
deixa de ter o papel de mero transmissor de conheci-
mentos para ser também mediador entre o conhecimento 
matemático e os aprendizes. O papel central do professor 
passa a ser o de constituir um ambiente de aprendizagem, 
de modo que os alunos sejam instigados o tempo todo 
a comunicarsuas ideias matemáticas 2 explicando seus 
raciocínios e defendendo seus pontos de vista, além de 
buscar compreender o pensamento do outro. Sendo as-
sim, o trabalho em grupo é imprescindível, pois é em sala 
de aula que ocorrem os confrontos de pontos de vista 
diversos. Atividades em grupo possibilitam a cada um de 
seus participantes organizar procedimentos, testar conjec-
turas, buscar conclusões, incluir soluções alternativas e, 
sobretudo, trabalhar em cooperação. Tais atitudes serão 
fundamentais na aprendizagem da Matemática, concebida 
como uma ciência dinâmica e em desenvolvimento, cujas 
verdades não são infalíveis nem imutáveis.
No desenvolvimento do trabalho são tomados vários 
caminhos para fazer Matemática: resolução de problemas, 
jogos, leitura de notícias de jornal ou revista, uso de gráficos 
ou tabelas, situações de desafio, manipulação de materiais, 
observação de objetos e formas do cotidiano, calculadora e 
a história da Matemática. Por não ser usual o trabalho com 
textos em aulas de Matemática, sugerimos que você adote 
dinâmicas diferenciadas para a leitura desse material: leitura 
prévia em casa, leitura coletiva, individual, etc.
As atividades propostas em cada Caderno, por meio 
dos caminhos citados, constituem oportunidades para o 
desencadeamento de conceitos e noções matemáticas. Você 
tem liberdade para ampliá-las ou até mesmo substituí-las 
por outras que julgar mais adequadas 2 por serem mais 
atuais, despertarem maior interesse da turma ou se mostra-
rem mais compatíveis com o desenvolvimento de projetos 
interdisciplinares na escola no ano em curso. O importante 
é que elas elenquem os mesmos objetivos propostos.
O planejamento do seu trabalho deve se iniciar pelo 
Manual do Professor que acompanha cada Caderno. Nele, 
além de orientações para o encaminhamento das aulas 
e materiais a serem utilizados, você encontra textos de 
apoio e sugestões de leitura.
O Caderno do Aluno (CA) é organizado por Módulos. 
No Manual do Professor (MP) há a indicação de quantas 
aulas compõem cada Módulo, além de um roteiro que 
poderá ajudá-lo a se organizar quanto à distribuição dos 
conteúdos de acordo com o número de aulas do Módulo. 
Esse roteiro é apenas uma sugestão, sinta-se livre para 
fazer adaptações se for necessário.
Cada Módulo é constituído por momentos de constru-
ção dos conceitos. Nesses momentos, os alunos deverão 
trabalhar preferencialmente em grupos. Após esse tra-
balho cooperativo de análise e exploração de questões 
propostas, vem o momento de socialização e discussão 
das diferentes conclusões a que chegaram os alunos. Essa 
etapa precisa culminar com o momento de sistematiza-
ção do que foi trabalhado. Essa sistematização ou já se 
encontra elaborada no CA, cabendo a você fazer a sua 
leitura e as intervenções necessárias a partir das questões 
e dúvidas colocadas pelos alunos, ou será construída 
coletivamente na classe. Num momento posterior, os 
alunos resolvem exercícios relativos ao conceito ou à 
propriedade que foram sistematizados.
Para cada conceito ou propriedade trabalhados, há 
tarefas de casa. Essas têm como objetivo desenvolver o 
hábito de estudo, portanto incluem assuntos já vistos, 
para que os alunos sejam capazes de fazer sozinhos. 
Indique a eles, ao final de cada aula, quais exercícios 
deverão ser realizados como tarefa de casa, certifican-
do-se de que todos entenderam o que devem fazer, e 
corrija-os na aula seguinte. Quando considerar conve-
niente, tendo em vista que os alunos do 8o ano já de-
vem ter o hábito da autocorreção, você poderá apenas 
fornecer-lhes as respostas, estimulando-os a encontrar 
por si mesmos os erros eventualmente cometidos 2 
que, assim, constituirão fonte de construção de conhe-
cimento. Nesse caso, certifique-se de que o aluno en-
controu seus erros. Toda tarefa em casa, com exceção 
de tabelas e esquemas, deverá ser feita em um caderno 
próprio para isso.
Os conteúdos dos exercícios em classe e tarefas 
de casa são coerentes com o trabalho em sala de aula. 
No entanto, defendemos a importância de colocar os 
alunos diante de situações desafiadoras, que exijam 
a criação de estratégias que não precisam necessaria-
mente estar vinculadas ao conteúdo do Módulo. Des-
sa maneira, ao final de cada Caderno há um Módulo 
específico para essas situações, as quais são denomi-
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nadas Resolução de problemas e investigações 
matemáticas.
Em cada Módulo, há algumas seções que visam a 
complementar e/ou ampliar as ideias trabalhadas. Des-
tacamos:
Você já estudou: esta seção está inserida no material 
do Sistema de Ensino a partir do 8o ano, com o objetivo 
de destacar a constante presença de retomadas de con-
teúdos estudados anteriormente.
De olho: esta seção contém textos, definições, voca-
bulário, símbolos ou dicas que complementam ou siste-
matizam o assunto que está sendo trabalhado.
Atividade complementar: seção opcional, que vem 
ao final do Módulo. Contém atividades de Matemática 
para serem resolvidas pelos alunos que terminarem antes 
dos demais os exercícios propostos, ou por toda a classe, 
quando houver tempo disponível 2 fica a seu critério. 
Recomendamos, porém, que a seção seja proposta como 
tarefa somente se não contiver nada novo (os alunos 
devem ter condições de realizar sozinhos aquilo que é 
solicitado fazer em casa).
Leitura complementar: esta seção apresenta textos 
que complementam informações trabalhadas em aula. É 
também optativa, e você poderá explorá-la no momento 
que julgar mais adequado.
Desafio: envolve situações matemáticas 2 quebra-
-cabeças, problemas de lógica, adivinhações, etc. 2 que 
requerem raciocínio lógico. Sugere-se que seja resolvido 
em grupo, para estimular a troca de opiniões entre os 
alunos. Convém não utilizá-lo como tarefa de casa, pois 
nem sempre a solução é fácil, podendo exigir interfe-
rência ou pistas de sua parte. Ele sempre aparece antes 
da seção Teste.
Teste: para cada aula haverá uma questão de múltipla 
escolha. Lembramos que é papel do professor ensinar 
o aluno a resolver uma questão dessa natureza. Assim, 
não se trata de fornecer apenas o gabarito de cada teste, 
mas analisar com os alunos as alternativas que foram 
excluídas.
Exercícios complementares: considerando que 
os exercícios de sistematização propostos nas aulas 
podem não ser suficientes para todos os alunos, incluí-
mos ao final de cada Caderno exercícios opcionais, 
para fixação e retomada de alguns procedimentos. 
Você decidirá se é interessante explorá-los ou não, 
indicá-los aos alunos que necessitarem ou para toda 
a turma; substituí-los por propostas que julgar mais 
adequadas, baseando-se em sua experiência; utilizá-los 
como incremento de tarefas em casa ou material para 
revisão ou recuperação. Poderão ainda ser ampliados, 
caso você julgue a quantidade insuficiente. No entan-
to, salientamos o cuidado de não fugir da abordagem 
adotada nem do conteúdo proposto.
Glossário: sempre que surgirem novas informa-
ções (definições, regras, valores, etc.), será sugerido 
aos alunos que as anotem no glossário, que deverá 
estar sempre disponível para consulta. Você estabelece 
a forma de organizá-lo; por exemplo, pode-se desti-
nar para isso uma parte do caderno, ou solicitar um 
caderno especial, de capa dura, com índice alfabético 
(tipo agenda de telefone). Esse glossário vem sendo 
utilizado desde o 6o ano. Verifique se os alunos já 
dispõem dele.
Nos momentos de construção de conceitos, muitas 
vezes, os alunos usarão alguns materiais de apoio. Entre 
eles, destacamos:
Calculadora: será utilizada, em muitos momen-
tos, como recurso metodológico. É um instrumento 
que traz muitas possibilidades na aprendizagem da 
Matemática em situações que requerem exploração, 
levantamento de hipóteses e criação de estratégias de 
cálculo, colaborando também, circunstancialmente, 
para a correção de erros e a autoavaliação. A calcu-
ladora 2 tipo simples (com as operações básicas eteclas de memória) 2 deve ser material coletivo da 
escola. Assim, sugerimos a aquisição de um kit de 
calculadoras, de modo que cada aluno tenha uma 
disponível para uso. Essas calculadoras ficarão sob 
sua responsabilidade, devendo estar na sala de aula 
apenas nos Módulos em que serão utilizadas. É fun-
damental que todas as calculadoras sejam iguais, para 
facilitar o seu trabalho.
Materiais manipuláveis: esses materiais (papéis 
para recortar, sólidos geométricos, embalagens, ma-
teriais de contagem) serão utilizados principalmente 
nas aulas de Geometria. Sempre se certifique, em cada 
Caderno, de quais materiais precisará, para providenciá-
-los com antecedência, garantindo a realização da aula.
Kit de materiais do Sistema de Ensino: materiais 
manipuláveis são enviados às escolas pelo nosso Siste-
ma de Ensino. Alguns poderão ser suficientes para toda 
a classe (como o kit do jogo Tangram e o Algeplan); 
outros precisarão ser completados pela escola (como o 
geoplano e a torre de Hanói).
Tabuleiros para jogos: no caso de jogos de tabu-
leiro, estes vêm no anexo do CA.
Materiais de uso constante: régua, esquadro, 
transferidor, compasso e tesoura. Além disso, os alunos 
necessitam de um caderno e de um bloco de papel 
 milimetrado.
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Organização dos conteúdos
Os conteúdos estarão concentrados nos seguintes 
temas: Números e operações, Espaço e forma (Geome-
tria), Medidas e Tratamento de dados ou da informação 
(Estatística, combinatória e probabilidade). A seleção 
desses temas, bem como dos conceitos/conteúdos relati-
vos a eles, é feita com base em documentos curriculares 
nacionais. A abordagem para os conteúdos selecionados 
ocorre numa concepção de currículo em espiral, ou seja, 
eles são retomados e ampliados a todo momento, em 
um mesmo ano ou em anos diferentes.
Destacamos alguns conteúdos que serão enfatizados:
1. Números e operações
O campo dos números racionais, trabalhado no 
7o ano, será ampliado ao abordarmos outra regra para 
divisão de frações e a operação da potenciação e suas 
propriedades, com a introdução do expoente negativo. 
Serão explorados também os conceitos de fração geratriz 
de uma dízima periódica e notação científica.
A Álgebra será trabalhada ao longo de todo o 8o ano. 
Inicialmente, serão retomados conceitos trabalhados no 
ano anterior: valor numérico, redução de termos semelhan-
tes e o conceito de equação do 1o grau com uma incógnita, 
para em seguida serem introduzidos novos conceitos: ine-
quações do 1o grau com uma incógnita, conjunto universo 
e conjunto solução, equações determinadas, impossíveis 
e indeterminadas, resolução de problemas envolvendo 
equações, operações com monômios (multiplicação, po-
tenciação e divisão). As operações com polinômios e a 
fatoração de expressões algébricas serão introduzidas por 
meio da representação algébrica e geométrica de figuras 
planas. Do mesmo modo, a Álgebra geométrica será o 
ponto de partida para o trabalho com os produtos notáveis 
(quadrado da soma e da diferença de dois termos, trinô-
mio quadrado perfeito e fatoração do trinômio quadrado 
perfeito). O estudo das frações algébricas procederá a 
divisão de polinômios por monômios. Ainda no campo da 
Álgebra, serão estudados a equação do 1o grau com duas 
incógnitas e sistemas de eixos coordenados, bem como a 
resolução algébrica e gráfica de sistema de equações do 
1o grau com duas incógnitas.
2. Espaço e forma
O estudo dos ângulos, iniciado no 7o ano, será reto-
mado e aprofundado, ao trabalharmos com as relações 
entre a medida dos ângulos determinados sobre duas 
retas paralelas cortadas por uma reta transversal, soma 
da medida dos ângulos internos de um triângulo e de 
um polígono convexo qualquer, ângulos em quadrilá-
teros notáveis e em uma circunferência. No trabalho 
com os ângulos, são bastante exploradas as modelagens 
algébricas dos problemas, demandando a resolução de 
equações do 1o grau. Por isso é fundamental que as aulas 
do campo Espaço e forma estejam bem alinhadas com o 
trabalho no campo de Números e operações, conforme 
as orientações específicas dadas em cada Caderno.
O estudo da congruência de figuras, de forma geral, 
e, mais especificamente, dos triângulos congruentes, 
será explorado de modo integrado ao trabalho com as 
principais construções geométricas. O objetivo dessa 
integração é levar os alunos a entenderem a importância 
das validações e justificativas em geometria. Assim, toda 
construção geométrica deverá ser devidamente justifi-
cada pelas propriedades teóricas já estudadas, espe-
cialmente aquelas relativas aos triângulos congruentes.
Os conceitos de congruência apoiarão ainda o estudo 
dos principais tipos de simetria (translação, reflexão e 
rotação). Será explorada a ideia de que essas transfor-
mações geométricas não alteram nem a forma nem o 
tamanho das figuras, gerando figuras congruentes às 
originais. No 9o ano, esses conceitos serão retomados 
durante o estudo da semelhança de figuras, quando serão 
vistas transformações que modificam o tamanho de uma 
figura, como é o caso da homotetia.
Usando o conceito de figuras planas equivalentes, ou 
seja, de mesma área, será feita uma apresentação do teo-
rema de Pitágoras. Trata-se de uma introdução ao assunto, 
que será retomado e aprofundado no 9o ano, quando já 
terá sido trabalhada a ideia de semelhança de triângulos.
3. Grandezas e medidas
As medidas de comprimento, capacidade e massa, 
exploradas em anos anteriores, serão utilizadas em con-
textos de resolução de problemas.
As noções de cálculo de perímetro e área, também 
presentes em anos anteriores, serão ampliadas, chegan-
do-se à sistematização com a retomada de algumas fór-
mulas (relativas a quadrado, retângulo, paralelogramo e 
triângulo) e a introdução de novas (relativas a trapézio 
e losango). Serão trabalhados o comprimento da circun-
ferência e a área do círculo.
As noções de proporcionalidade, presentes em várias 
situações-problema nos anos anteriores, serão ampliadas 
ao serem trabalhadas as representações algébrica e grá-
fica de grandezas proporcionais.
4. Tratamento da informação
A habilidade de construir, ler e interpretar tabelas e 
gráficos de barras, colunas e curvas será solicitada com 
frequência na resolução de problemas.
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Ensino Fundamental
O tema será ampliado com a exploração de info-
gráficos e medidas de tendência central, população e 
amostra, tipos de frequência (absoluta e relativa), tabela 
de distribuição de frequências e variáveis em Estatística.
O trabalho com probabilidade será desenvolvido ao 
longo do ano, com a retomada de experimentos alea-
tórios, combinatória e construção do espaço amostral, 
a definição clássica de probabilidade e a resolução de 
situações-problema envolvendo conteúdos de estatística, 
combinatória e probabilidade.
Sugerimos que tome conhecimento dos conteúdos 
anteriores ao ano em curso já trabalhados no material do 
Sistema de Ensino, bem como do 9o ano, a fim de evitar 
o tratamento repetido ou antecipado, em uma abordagem 
diferente da proposta. Não há separação entre as aulas de 
Aritmética/Álgebra e Geometria. Convém que um único 
professor de Matemática atue ao longo do ano. As aulas 
de Geometria, sempre que possível, serão interligadas 
aos demais campos da Matemática.
Objetivos comuns a todos os campos
O ensino de Matemática no Fundamental II tem 
como principais objetivos possibilitar aos alunos a ca-
pacidade de:
• formular e verificar hipóteses;
• argumentar a favor de opiniões (ao explicar hipóteses 
formuladas, justificar estratégias a serem seguidas 
para chegar à conclusão);
• reconhecer, organizar e analisar dados;
• usar técnicas de investigação (ao fazer pesquisa em 
diferentes fontes e selecionar informações);
• praticar habilidades relacionadas à comunicação, 
estabelecendo conclusões (ao analisar ou produzir 
textose outras formas de expressão: tabelas, dese-
nhos, painéis);
• usar técnicas para o estabelecimento de relações entre 
conceitos (fazer mapas conceituais).
Espera-se que ao final dos ciclos do Ensino Fun-
damental os alunos tenham desenvolvido as seguintes 
atitudes diante da Matemática:
• capacidade de investigação e perseverança na busca 
de resultados;
• valorização do uso de diferentes estratégias para 
resolução de situações-problema;
• predisposição para alterar estratégias previstas e para 
a verificação e controle de resultados;
• confiança em sua própria capacidade de “fazer” Ma-
temática;
• valorização e uso da linguagem matemática adequada;
• valorização de suas ideias e de diferentes pontos de 
vista no trabalho coletivo;
• reconhecimento da Matemática como ciência histo-
ricamente em evolução;
• interesse pela Matemática presente no cotidiano, pre-
dispondo-se a analisar criticamente as informações 
veiculadas pela mídia;
• interesse pelo uso de instrumentos tecnológicos que 
auxiliem na realização de alguns trabalhos, sem anu-
lar o esforço da atividade compreensiva;
• capacidade para assumir erros e acertos;
• desenvolvimento e valorização de atitudes como: 
curiosidade, atenção, organização, rigor nas obser-
vações e análises.
Espera-se também que os alunos tenham desenvol-
vido as habilidades de:
• selecionar, organizar, relacionar, interpretar dados e 
informações representadas de diferentes formas para 
enfrentar situações-problema, segundo uma visão 
crítica com vistas à tomada de decisões;
• usar adequadamente a linguagem matemática;
• utilizar conceitos matemáticos na resolução de situa-
ções-problema;
• reconhecer e analisar relações e propriedades numé-
ricas e geométricas.
Uma palavra sobre avaliação
Entendemos que o processo de avaliação é contínuo 
e constituído de vários instrumentos.
O que avaliar
Por meio de atividades voltadas à compreensão de definições, ao 
estabelecimento de relações, ao reconhecimento de hierarquias, ao 
estabelecimento de critérios para fazer classificações e também à 
resolução de situações de aplicação envolvendo conceitos.
Conceitos
Como eles são construídos e utilizados.
Procedimentos
Atitudes
Por meio da observação do professor e da realização de 
autoavaliações.
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1. Instrumentos de avaliação
• Observação do professor: pode ser feita por meio 
de uma ficha elaborada coletivamente pelo corpo 
docente da escola, observando as especificidades de 
cada área e os objetivos do projeto pedagógico da 
escola. É uma ficha que registra o desenvolvimento 
dos alunos. Pode-se considerar o acompanhamento 
do conteúdo feito no dia a dia (registro de dificul-
dades, cumprimento ou não de tarefas, participação, 
interesse e criatividade para resolver atividades, ofe-
recimento de ajuda aos colegas, solicitação de ajuda 
aos colegas e professor, etc.).
• Autoavaliação: sempre com roteiro ou ficha que pos-
sibilite a reflexão dos alunos sobre seu aprendizado. 
Eles precisam aprender a descobrir em que ponto sen-
tiram dificuldades em determinado assunto e começar 
a se questionar sobre por que isso aconteceu. Assim, 
passam a não depender exclusivamente do professor 
para validar suas soluções e seus raciocínios, pois eles 
próprios aprenderam a validar o que fizeram.
• Poemas, crônicas, músicas, jogos, dramatizações, 
histórias em quadrinhos, mapas conceituais: 
escrever, individualmente ou com os colegas, um poe-
ma, uma música ou as regras de um jogo sobre um 
assunto, etc. A elaboração de textos leva os alunos a 
refletir sobre o que aprenderam.
• Projetos: atividades mais amplas desenvolvidas em 
classe cujo ponto de culminância pode ser em forma 
de relatório ou autoavaliação.
• Campeonatos ou olimpíadas: atividades que des-
pertem o interesse dos alunos, estimulem sua parti-
cipação, ajudem-nos a transferir conhecimentos e a 
trabalhar em situações não rotineiras.
• Seminários e exposições: os alunos podem ser 
estimulados a preparar, apresentar e expor oralmente 
ou por escrito o que estão estudando.
• Books e portfólios: os alunos fazem uma coletânea 
com os melhores trabalhos julgados por eles mesmos. O 
professor pode e deve orientar e combinar com os alu-
nos como eles irão organizar os seus books. Exemplos:
 – selecionar na semana, bimestre ou ano, as ativi-
dades de que mais gostaram, que fizeram correta-
mente e nas quais sentiram mais confiança;
 – o que acharam mais difícil de resolver; atividades 
em casa, em dupla, etc.;
 – todas as atividades escolhidas deverão ter uma 
etiqueta que justifique sua escolha;
 – o professor mesmo pode pedir, ao final de cada 
bimestre ou semestre, que os próprios alunos 
apresentem o seu book aos pais, quando houver 
reunião de pais ou evento próprio para isso.
• Memórias ou diários: podem ser constantes ou em 
momentos específicos; ser incorporados ao portfólio; 
no início e no término de um trabalho.
2. Escolha dos temas da prova
• A prova poderá ter um tema mais geral ou temas 
que contenham os conceitos do Caderno, de forma 
a atingir os objetivos escolhidos.
• Esses temas podem estar relacionados a um trabalho 
e/ou projeto desenvolvido na própria escola.
• Podem ser os próprios temas propostos no Caderno.
• Pode ser um tema de outra área do próprio Caderno, 
interdisciplinar ou não.
• Temas do cotidiano que estão despertando o interesse 
dos alunos.
• Nem todos os conteúdos do Caderno podem ser 
trabalhados por meio de temas. Convém fazer um 
levantamento deles, se for o caso.
3. Preparação da prova
• A linguagem deve ser conhecida dos alunos, evitando 
a utilização de termos desconhecidos, principalmente 
nos comandos. Se houver termos não usuais no texto, 
inserir o vocabulário na prova.
• Os comandos dos exercícios devem evitar ambiguida-
des de interpretações e ser claros para a faixa etária 
a que se destinam.
• Em questões de múltipla escolha, o enunciado deve 
conter um problema ou uma situação a ser analisada. 
Incluir somente uma alternativa correta na questão, 
sem criar dificuldade (pegadinha) nem facilitar demais 
(induzir a resposta correta).
• É necessário adequar o número de questões ao tempo 
previsto para a prova.
• Dosar questões fáceis, médias e difíceis.
4. Critérios para correção
• Os critérios devem ser estabelecidos antes da apli-
cação da prova.
• Devem ser claros para os alunos, em função dos ob-
jetivos para cada questão. Exemplo: valorização do 
raciocínio (mesmo com erro de cálculo), valorização 
de técnicas e algoritmos, valorização da resposta, etc.
• Explicitar em cada questão a pontuação que será 
utilizada. A pontuação poderá estar na própria prova 
ou ser oferecida após a correção.
• Assinalar na prova, no momento da correção, o erro 
e a justificativa da nota. Dessa forma, ao receber a 
prova corrigida, o aluno poderá fazer uma análise de 
seu desempenho.
Adair, Cármen e Fábio
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8
10 Ensino Fundamental
O CADERNO 1
Este Caderno dá início ao último ciclo do Ensino Fundamental 2 8o e 9o anos. A expectativa é que 
nesse ciclo o aluno já tenha condições de criar estratégias mais elaboradas para a resolução de problemas, 
generalizar fatos e propriedades matemáticas, elaborar e validar conjecturas e pensar abstratamente, entre 
outras habilidades. Os alunos também serão desafiados a elaborar problemas.
A abordagem em espiral dos conteúdos do material de Matemática do Sistema de Ensino possibilita que 
cada Módulo deste Caderno retome assuntos trabalhados anteriormente, visando a uma ampliação conceitual. 
Incentive os alunos a consultarem no glossário as anotações relativas aos conceitos já trabalhados.
Caso você não tenha sido o professor da turma nos anos anteriores, converse com seus colegas da escola 
para conhecer a abordagem dada a cada um dos campos matemáticos.
O material do Sistema de Ensino não pressupõe o trabalho com “frentes”,pois buscamos, sempre que 
possível, uma integração entre os diferentes campos. No entanto, há escolas que optam por essa divisão. Isso 
requer que os professores da turma estejam em constante interação para que um não antecipe o trabalho 
do outro nem se sobreponha a ele, o que pode comprometer o conteúdo.
Este Caderno está organizado em 10 Módulos: 4 relativos à Álgebra; 4, a Espaço e forma; 1, ao Tratamento 
da informação; e 1, de Resolução de problemas e investigações matemáticas.
Você tem flexibilidade para inverter a ordem de alguns Módulos, desde que fique atento aos pré-requi-
sitos de cada um e, mantenha a ordem dentro de um mesmo campo.
Planeje antecipadamente suas aulas, preparando os materiais necessários, a fim de que eles estejam disponí-
veis no momento em que forem solicitados. Por exemplo, neste Caderno, você precisará dos seguintes materiais:
• calculadora (uma por aluno, que deve fazer parte do material da escola);
• régua, compasso, transferidor e esquadros (1 jogo por aluno);
• palitos de sorvete e percevejos (para trabalho individual);
• torre de Hanói (1 jogo por grupo);
• tesoura e lápis de cor.
Cada Módulo apresenta uma sugestão de roteiro para cada aula que o compõe, embora a sequência das 
aulas dependa da sua carga horária no dia. Procure garantir sempre uma tarefa de casa para que os alunos 
adquiram o hábito de estudo constante. Haverá sempre a indicação dos exercícios extras correspondentes 
ao Módulo. Ficam a seu critério o momento e a forma de trabalhá-los.
Todas as seções que precedem a tarefa de casa deverão ser realizadas em classe.
A seção Desafio traz situações-problema cujas resoluções não dependem, necessariamente, do conteú-
do trabalhado no Módulo. Muitas vezes são problemas de lógica. Sugerimos que sejam sempre resolvidas 
em grupos (duplas ou trios), para que os alunos possam discutir estratégias de resolução. Ela exige uma 
correção mais dialogada, em que as diferentes estratégias sejam socializadas e discutidas.
Nunca deixe de corrigir as tarefas, ficando ao seu critério qual dinâmica utilizar, e lembrando que os 
alunos já devem ter o hábito de autocorreção. Para exercícios mais “mecânicos”, você pode apenas fornecer 
respostas; para os que exigem raciocínios mais elaborados ou estratégias diferenciadas, compartilhe-as no 
momento da correção.
O glossário já é utilizado pelos alunos do Sistema de Ensino desde o 6o ano e deve constituir um material 
à parte do caderno usual. Foi sugerido um caderno de capa grossa com índice alfabético. Crie também sua 
estratégia de correção desse instrumento. Pode-se, por exemplo, pedir a um aluno que leia suas anotações 
e, a partir delas, fornecer dicas dos principais elementos que precisam constar nesse registro; pode-se, pe-
riodicamente, recolher esses glossários e fazer uma leitura; é possível, ainda, trocar os glossários entre os 
alunos para que um leia o que o outro escreveu e verifique se a anotação feita pelo colega está adequada.
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1. POPULAÇÃO E AMOSTRA DE UMA PESQUISA
AULAS 1 a 3
Objetivos
• Retomar leitura, a construção e a interpretação de tabelas e gráficos.
• Apresentar algumas terminologias relativas às pesquisas estatísticas.
• Diferenciar população e amostra.
• Identificar a população e a amostra em pesquisas.
Roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
1
Abertura do Módulo
O IBGE e algumas de suas pesquisas
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 e 2 (Em casa)
2
Retorno das tarefas 1 e 2 
População e amostra
Exercício 
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 3 e 4 (Em casa)
3
Retorno das tarefas 3 e 4 
Você já estudou 
Desafio
Teste (item 3)
Orientações para as tarefas 5 e 6 (Em casa)
Exercícios complementares correspondentes a este Módulo: 1 a 4.
Material
• Calculadora.
Noções básicas
Espera-se que ao final deste Módulo os alunos sejam capazes de diferenciar população e amostra e identificar 
pesquisas por amostragem divulgadas na mídia.
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Ensino Fundamental
Estratégias e orientações
Este Módulo retoma conteúdos trabalhados em anos 
anteriores. Incentive os alunos a consultar o glossário 
sempre que se depararem com termos ou conceitos sobre 
os quais eles já estudaram e tenham dúvidas.
Caso esse seja o primeiro contato dos alunos com o 
material deste Sistema de Ensino, este Módulo poderá 
demandar um pouco mais de tempo para sua realização, 
pois alguns conceitos e a metodologia de trabalho serão 
novos para eles.
Lembramos que o material deste Sistema de Ensino já 
trabalhou com os seguintes conceitos/conteúdos estatísti-
cos: tabelas; gráficos de barras, de colunas, de curvas e de 
setores; infográficos; medidas de tendência central: moda, 
mediana e média (sem utilização de fórmulas no caso da 
moda e mediana, apenas organizando os dados em ordem 
crescente e identificando, na sequência, essas duas medidas).
Nos Módulos que abordam Estatística os alunos vão 
deparar com alguns textos informativos, contendo dados 
de pesquisas, oficiais ou não, que constituirão a base 
para a exploração do conceito a ser trabalhado. Fica a 
seu critério como fazer a leitura desses textos. Algumas 
sugestões:
• Leitura prévia em casa: solicite que os alunos leiam 
os textos do Módulo como uma tarefa para casa. 
Nesse caso, oriente como deve ser a leitura: eles 
devem grifar as ideias centrais do texto, destacar as 
informações numéricas, consultar dicionário caso o 
texto tenha palavras desconhecidas, buscar informa-
ções correlatas na internet.
• Realizar uma leitura coletiva durante a aula, levando 
questões para avaliar se os alunos estão compreen-
dendo o contexto apresentado.
• Pedir aos alunos que façam a leitura individual-
mente durante a aula. Em seguida, você poderá 
propor questões sobre o texto, a fim de avaliar a 
compreensão do que foi lido.
A produção de textos analíticos de tabelas e gráfi-
cos deve continuar sendo incentivada. Essa produção 
poderá ser:
• Realizada coletivamente na sala de aula: os alunos 
destacam as ideias e você as organiza em um texto, 
o qual deverá ser copiado pelos alunos.
• Realizada em grupos: nesse caso, você poderá fazer 
a correção individual de cada grupo, ou os grupos 
apresentam à classe e você propõe as questões que 
julgar necessárias para ampliar ou corrigir ideias 
que aparecerem.
• Realizada individualmente. Essa produção poderá ser 
feita em uma folha e entregue a você para a correção 
individual.
É importante que os textos produzidos pelos alunos 
sejam corrigidos. A estratégia de correção fica a seu crité-
rio. Lembre-se de que o retorno dado aos alunos é fun-
damental para que eles avancem nas práticas de escrita.
O material de Matemática sempre incentiva a prática 
da leitura e da escrita, já que estas devem perpassar todas 
as disciplinas do currículo escolar.
Lembramos que a calculadora é utilizada pelos alunos 
do Sistema desde os anos iniciais. Em alguns contextos 
ela é utilizada como ferramenta para resolução de proble-
mas ou dedução de regras; em outros, como nas aulas de 
Estatística, é usada para facilitar os cálculos. O trabalho 
com Estatística envolve muitos cálculos, mas o objetivo 
centra-se nas interpretações e análises dos dados. Assim, 
o uso da calculadora libera os alunos para um trabalho 
mais analítico dos dados.
Atividades de construção do conceito
O IBGE e algumas de suas pesquisas (página 396)
Nesta seção são apresentados dois textos com o ob-
jetivo de explorar pesquisas do IBGE: uma realizada com 
toda a população, que é o caso do Censo demográfico, e 
outra com uma amostra 2 a Pesquisa Nacional de Saúde 
do Escolar (PeNSE).
Essas pesquisas são oficiais e realizadas periodica-
mente. O Censo demográfico ocorre a cada dez anos. 
Quando este Caderno foi elaborado, o IBGE tinha divul-
gado apenas os dados do Censo 2010. No entanto, o site 
do IBGE publica, em tempo real, dados atualizadosda 
população. Incentive os alunos a consultá-lo.
Você poderá ampliar a discussão, apresentando os 
principais dados para análise com os alunos. A PeNSE 
2015, divulgada em 2016, é uma pesquisa trienal e recen-
te, pois este foi o seu terceiro ano de realização. Ela traz 
dados muito interessantes sobre a saúde dos adolescen-
tes. Se você dispuser de tempo, proponha a ampliação 
da temática com consulta ao site e atualização dos dados, 
caso já tenha ocorrido outra pesquisa mais recente.
É importante que os alunos percebam a diferença 
entre os sujeitos das duas pesquisas. Enquanto o Cen-
so consulta toda a população (com exceção dos casos 
apontados no texto), a PeNSE trabalha com uma amostra.
A seção Você já estudou refere-se à revisão de con-
teúdos que já foram abordados em anos anteriores.
População e amostra (página 398)
Este é um texto informativo. Fica ao seu critério a 
estratégia de leitura. É importante que você aproveite esse 
contexto para discutir com os alunos quando uma amos-
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tra é significativa, quais são os órgãos mais conhecidos 
de pesquisa 2 no Brasil, podemos destacar: IBGE, Inep, 
Datafolha, Ibope, Vox Populi, entre outros. Explique-lhes 
a confiabilidade de pesquisas por amostragem quando 
a metodologia é adequada. Se os diferentes extratos da 
população forem considerados, é possível generalizar os 
dados da amostra para toda a população.
No texto aparecem os termos amostra e amostra-
gem. A amostragem é a ação de obter a amostra. Não 
há necessidade de diferenciar esses termos. O objetivo 
é que os alunos compreendam o significado da amostra, 
ou seja, um subconjunto finito de uma população, e sua 
utilização, sempre que não for possível ter acesso a toda 
a população. Uma vez escolhida uma amostra, esta passa 
a representar a população a ser estudada.
A adoção de critérios para a composição de uma 
amostra que tenha a representatividade necessária para 
o estudo em questão é o que chamamos de amostragem. 
O critério escolhido deve garantir que todos os elementos 
da população tenham a mesma probabilidade de serem 
sorteados 2 caso se queira uma amostra probabilística. 
Entre as amostras probabilísticas as mais comuns são 
a aleatória simples e a estratificada. No caso da amos-
tra aleatória simples, ela pode ser feita por sorteio sim-
ples ou organizando os dados em planilhas eletrônicas 
ou calculadoras, lançando-se mão da função Rand ou 
Aleatório. No Excel, por exemplo, a função é chamada 
 ALEATÓRIOENTRE; tal função gera números aleatórios 
dentro de um intervalo estabelecido. Já na amostragem 
estratificada a população é organizada em camadas, com 
diferentes características, e utiliza-se a proporcionalidade 
para a determinação dessa amostra.
Bibliografia utilizada
• LOPES, Paulo Afonso. Probabilidade e estatística: con-
ceitos, modelos, aplicações em Excel. Rio de Janeiro: 
Reichmann & Affonso Editores, 1999.
• NOVAES, Diva Valério; COUTINHO, Cileda de Quei-
roz e Silva. Estatística para educação profissional. 
São Paulo: Atlas, 2009.
Indicamos a consulta caso apareçam dúvidas apre-
sentadas pelos alunos.
Respostas e comentários
O IBGE e algumas de suas pesquisas (página 397)
1. Ambas foram realizadas pelo IBGE e trazem dados 
da população brasileira.
2. O Censo consulta toda a população (com algumas 
exceções); a PeNSE utiliza apenas uma parcela da 
população 2 no caso, além de ser apenas adoles-
centes do 9o ano, não houve a participação de todos 
os estudantes dessa categoria, participaram apenas 
aqueles que fizeram parte das escolas selecionadas.
Exercício (página 399)
Sugerimos que a seção seja realizada em grupos. 
Após cada exercício, faça a socialização das respostas 
dadas pelos alunos.
1. O Estudo de Riscos Cardiovasculares em Adolescen-
tes (Erica) apresenta dados que contribuem para o 
trabalho de conscientização dos adolescentes em re-
lação aos problemas decorrentes de uma alimentação 
inadequada, que provoca sobrepeso ou obesidade, 
aliada também ao sedentarismo. O fato de os ado-
lescentes ficarem muito tempo sentados à frente de 
um computador, sem a prática de exercícios físicos, e 
se alimentando inadequadamente, vem preocupando 
especialistas de todo o mundo. São problemas que 
acabam desencadeando em riscos à saúde, como 
hipertensão e diabetes.
Você poderá aproveitar a leitura do texto e os dados 
apresentados para discutir essas questões.
a) O Erica não entrevistou todos os adolescentes; foi 
uma pesquisa por amostragem.
b) Para este item os alunos devem considerar o total de 
entrevistados: 75 mil adolescentes e os dados percen-
tuais do texto. Caso os alunos não saibam, ensine-lhes 
como calcular porcentagem na calculadora.
Problema %
Total de 
adolescentes
Sobrepeso ou 
obesidade
25,5 19 125
Sedentarismo 54,3 40 725
Tempo na frente da 
TV/Computador
66,6 49 950
Não tem hábitos 
alimentares saudáveis
50 37 500
Hipertensão 9,6 7 200
c) Os alunos poderão utilizar diferentes estratégias 
para a resolução deste item.
• Utilizando a noção de proporcionalidade e a 
regra de três estudada no 7o ano:
Brasileiros 200 000 x
% 20 100
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Ensino Fundamental
Assim, x 5 1 000 000. Portanto, 1 milhão de 
adolescentes.
• Partindo do princípio de que 20% 5 
1
5
, basta 
multiplicar:
5 3 200 000 5 1 000 000.
• Ou, ainda, utilizando o conceito de frações 
equivalentes:
20
100
 5 
200 000
x
. Multiplicando numerador e 
denominador por 10 000, obtém-se:
x 5 1 000 000.
No momento da correção, socialize as diferentes 
estratégias.
2. O gráfico relativo ao ano de 2015 traz algo diferente: 
os números negativos na parte superior das colunas. 
Deixe que os alunos analisem e tentem explicar o 
seu significado.
a) A Pnad Síntese de Indicadores Sociais é uma pes-
quisa por amostragem, como informa o próprio 
texto.
b) O título do gráfico é: “Taxa de fecundidade das 
mulheres de 15 a 29 anos”.
c) A fonte do gráfico é o IBGE.
d) Trata-se de um gráfico de colunas que compara 
a taxa de fecundidade das mulheres em 2015 em 
relação a 2005.
e) Em ambas as pesquisas, a faixa etária com maior 
taxa de fecundidade é de 20 a 24 anos.
f) Essas porcentagens representam o decréscimo da 
taxa de fecundidade. Proponha aos alunos que fa-
çam a conferência com a calculadora. Aproveite para 
ensinar-lhes como fazer esse cálculo diretamente. 
Exemplo: basta digitar na calculadora 76,3 2 22,1% 5
5 59,4. Esse cálculo é o mesmo que encontrar 
77,9% de 76,3 (ou seja, 100% 2 22,1% 5 77,9%). 
O aluno poderá ainda optar por calcular 22,1% 
de 76,3 e, em seguida, fazer a subtração (ou seja, 
22,1% de 76,3 5 16,9; calculando a diferença, tem-
-se: 76, 3 2 16,9 5 59,4).
g) A maior redução foi na faixa de 20 a 24 anos.
Você já estudou (página 401)
1. Retome com os alunos o conceito dessas três medidas. 
Para o cálculo da média somam-se os valores e divi-
de-se pela quantidade de valores somados. A moda é 
o dado que mais aparece; a mediana é o valor central 
para os dados organizados em ordem crescente. No 
caso de quantidade par de dados, a mediana será a 
média aritmética dos dois dados centrais. É provável 
que os alunos já tenham essas definições no glossário. 
Oriente-os a consultá -las.
a) Média: 5,2 Moda: 8 Mediana: 6
b) Média: 8,22 Moda: não tem (série amodal)
Mediana: 7,8
c) Média: 12 Moda: 10 Mediana: 10
d) Média: 1,4 Moda: série amodal
Mediana 2
2. a) Média: 1 762,50 Moda: 1 780
Mediana: 1 780
b) O acréscimo desse dado modificará apenas a mé-
dia, que passa a R$ 2 288,88. A moda e mediana 
permanecem inalteradas.
c) A mediana representa melhor a realidade da em-
presa, pois mostra que mais da metade dos fun-
cionários ganha 1 780 reais ou abaixo disso.
Desafio (página 402)
102 5 62 1 82
132 5 52 1 122
152 5 92 1 122
172 5 82 1 152
202 5 122 1 162
Teste (página 402)
1. Alternativa C.
A questão exige apenas que se determine as três me-
didasde tendência central. No entanto, ao analisar a 
resposta a, os alunos poderão perceber que a série tem 
duas modas: 6 e 7,5. Portanto, já encontrou a alternati-
va c que aponta ser uma série bimodal. A alternativa b 
é incorreta porque a mediana é 6. A alternativa d é 
incorreta porque a média é 6,25.
2. Alternativa C.
A questão exige a análise de cada uma das afirmati-
vas. Se o aluno assinalou a alternativa a, ele prova-
velmente calculou 21% de 6,3 milhões e trabalhou 
com dados arredondados; ocorre que 6,3 milhões 
corresponde a 21%.
A alternativa b é falsa porque 30 milhões é o total de 
crianças e adolescentes na faixa etária de 9 a 17 anos, 
e não apenas os que estão desconectados. Portanto, 
essa é a resposta da alternativa c (que está correta).
A alternativa d é falsa porque o texto não traz infor-
mações suficientes sobre o tipo de pesquisa (toda a 
população ou por amostragem).
3. Alternativa C.
A questão também envolve a análise de cada uma 
das alternativas.
A alternativa a é falsa porque o texto deixa explícito 
que foi uma pesquisa por amostragem.
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A alternativa b é falsa porque o percentual é 37%, e 
não 50% de pessoas que utilizam a internet diariamente.
A alternativa c é verdadeira porque basta fazer os 
cálculos:
4 h 59 min 2 3 h 39 min 5 1 h 20 min (durante a 
semana).
4 h 24 min 2 3 h 43 min 5 41 min (fins de semana).
Portanto, o tempo de conexão durante a semana teve 
um aumento maior que nos finais de semana.
A alternativa d é falsa porque o percentual passou de 
26% para 37% e não que houve um aumento de 37%.
Em casa (página 403)
1. Os alunos poderão fazer o cálculo diretamente na cal-
culadora: calcular a diferença, dividi-la pelo primeiro 
número e multiplicar o resultado por 100. Exemplo:
52 2 41 5 11 e 11 ; 41 5 0,2682926 e
100 3 0,2682926 5 26,8.
Os alunos já aprenderam as regras de arredonda-
mento. Observe que as ordens depois do 8 são 2926, 
logo elas são desprezadas, pois 2 é menor do que 5.
No caso da 4a linha, por exemplo, o quociente obtido 
na calculadora é 0,2795698, mas como as ordens a 
serem desprezadas são 5698, passou de 5000 (a me-
tade), logo o 9 é arredondado para cima, resultando 
em 0,28.
a) Década Crescimento (em %)
De 1940 para 1950 26,8
De 1950 para 1960 34,6
De 1960 para 1970 32,9
De 1970 para 1980 28,0
De 1980 para 1990 23,5
De 1990 para 2000 15,6
De 2000 para 2010 12,9
De 2010 para 2016 7,8
b) O crescimento da população brasileira aumentou 
no período de 1940 a 1960; depois de 1960 esse 
crescimento vem reduzindo.
2. a) O maior decréscimo ocorreu de 2004 para 2006 
(0,14 ou 6,6%). Os alunos deverão calcular a re-
dução para cada biênio (em números absolutos 
ou percentuais).
b) Espera-se que os alunos concluam que o cres-
cimento da população brasileira está reduzindo, 
bem como a taxa de fecundidade entre as mu-
lheres.
3. a) Em 2000 a população brasileira era de 170 milhões 
de habitantes. Por meio de uma regra de três, os 
alunos poderão fazer o cálculo:
Total de pessoas 16,9 170 000 000
Número de computadores 1 x
Em que x 5 10 059 172. Ou seja, o país tinha apro-
ximadamente 10,1 milhões de computadores. Em 
2016, a população era de 207 milhões; portanto, 
havia 207 milhões de computadores no país.
b) O item pode ser resolvido diretamente; para isso 
basta dividir 194 milhões por 3, o que corresponde 
a 64,7 milhões aproximadamente.
c) Este item também pode ser resolvido por regra de 
três:
Total de pessoas 3 202 000 000
Número de computadores 2 x
Em que x é aproximadamente 134,7 milhões.
4. A média passa a ser 15. No momento da correção, 
discuta as diferentes estratégias de resolução. Uma 
possível seria:
4 3 13 5 52 (total da idade entre os quatro jovens).
52 1 23 5 75 (acréscimo da idade de 23 anos).
75 ; 5 5 15 (cálculo da nova média do grupo).
5. a) Não, a pesquisa foi realizada por amostragem.
b) O percentual é de 80% (8 em cada 10).
c) Os alunos construirão o gráfico de colunas.
Uso da internet: crianças e adolescentes
100
Norte Nordeste Centro-Oeste
Regi‹o
%
Sudeste Sul
90
54%
71%
85%
88%
90%
80
70
60
50
40
30
20
10
0
6. Verifique as anotações no glossário.
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816 Ensino Fundamental
2. ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS RETAS PARALELAS 
CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL
AULAS 4 a 7
Objetivos
• Retomar os conceitos de ângulos vistos no 7o ano.
• Apresentar as relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.
Roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
4
Retorno das tarefas 5 e 6 do Módulo 1
Abertura do Módulo
Ângulos: retomada das ideias fundamentais 
Exercício 1
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 a 4 (Em casa)
5
Retorno das tarefas 1 a 4
Ângulos formados por uma reta transversal a duas 
outras retas
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 5 e 6 (Em casa)
6
Retorno das tarefas 5 e 6
Propriedades dos ângulos em retas paralelas cortadas 
por uma transversal
Teste (item 3)
Orientações para as tarefas 7 a 9 (Em casa)
7
Retorno das tarefas 7 a 9
Exercício 2
Teste (item 4)
Orientações para as tarefas 10 a 12 (Em casa)
Exercícios complementares correspondentes a este Módulo: 5 a 10. 
Material
• Régua, transferidor e esquadros (1 jogo por aluno).
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• Palitos de sorvete e percevejos (1 conjunto por grupo) 
2 deverão ser providenciados para a segunda aula 
deste Módulo (aula 5).
Noções básicas
Durante este Módulo, espera-se que os alunos reco-
nheçam que duas retas cortadas por uma transversal são 
paralelas se, e somente se, os ângulos alternos internos 
têm medidas iguais. A partir daí eles deverão usar essa 
propriedade fundamental para estabelecer relações entre 
os demais pares de ângulos formados por retas paralelas 
cortadas por uma transversal, sendo capazes de aplicá-las 
em diferentes situações.
Estratégias e orientações
Neste primeiro Módulo de geometria do 8o ano, serão 
retomados os principais conceitos relacionados a ângulos 
vistos no ano anterior. Essa retomada é muito importante, 
uma vez que os ângulos serão a questão central de todos 
os Módulos que tratam de geometria no Caderno 1.
Propomos que essa retomada seja feita em uma aula. 
Esse tempo pode variar de turma para turma, dependendo 
do histórico e da presença ou não de alunos novos, entre 
outros fatores. Assim, caso sinta necessidade, você pode 
ampliar essa quantidade de aulas.
Para introduzir o tema dos ângulos, o texto inicial 
trata da importância de garantir a acessibilidade para 
toda a população. O foco é a construção de rampas 
adequadas ao uso por pessoas com mobilidade reduzida. 
Para isso, sua inclinação deve estar de acordo com as 
normas técnicas.
Dependendo do tempo disponível, você pode ampliar 
a discussão, propondo aos alunos que avaliem se os 
principais prédios públicos de sua cidade são adequados 
para receber pessoas com algum tipo de deficiência.
No restante do Módulo, introduzimos um novo con-
ceito: as relações entre as medidas dos ângulos formados 
por retas paralelas cortadas por uma transversal.
Atividades de construção de conceitos
Ângulos: retomada das ideias fundamentais 
(página 406)
A discussão sobre a inclinação adequada de uma 
rampa para o uso de pessoas com mobilidade reduzida 
é retomada nesta seção, discutindo-se o significado de 
medir essa inclinação em porcentagem, como é feito nas 
normas técnicas. Ao mesmo tempo, são revistos os prin-
cipais elementos de um ângulo, suas notações, medida, 
o uso de transferidor, ângulos adjacentes e opostos pelo 
vértice, entre outras ideias básicas sobre esse assunto.
Após a leitura do texto inicial do Módulo, organize 
os alunos em grupos para que comecem as atividades 
propostas. É importante que você circule pela sala para 
ajudar os alunos que apresentarem maisdificuldades com 
o manuseio do transferidor, por exemplo.
Utilize os exercícios da seção para retomar as ideias 
tratadas na atividade e avaliar a necessidade de estender 
um pouco a revisão sobre ângulos. Nesse caso, lembre-se 
de redistribuir as tarefas entre as quatro aulas do Módulo.
A seguir, fazemos observações sobre algumas nota-
ções e definições utilizadas no material.
1. Adotaremos a notação PÔQ para um ângulo de 
vértice O e lados 
u ruu
OP e 
u ruu
OQ. Já a medida desse 
ângulo será indicada por m(PÔQ).
Convém lembrar, porém, que é muito comum 
que as notações de ângulo e medida de ângu-
lo acabem se fundindo. Ao mesmo tempo em 
que falamos ângulo a, escrevemos a 5 30°. Por 
isso, não aconselhamos um rigor demasiado ao 
abordar tais notações.
2. A definição matemática de ângulo geométrico, 
segundo Moise e Downs, é a seguinte: ângulo 
geométrico é a união de duas semirretas que têm a 
mesma origem e não estão contidas na mesma 
reta. Os casos em que as duas semirretas estão 
contidas numa mesma reta correspondem aos ân-
gulos especiais (ângulo raso e ângulo nulo).
Optamos por não discutir essa diferença, pois 
isso dificultaria a compreensão do conceito pe-
los alunos. Assim, tratamos os ângulos geométri-
cos e os ângulos especiais simplesmente como 
ângulos. A diferenciação será feita apenas no 
Ensino Médio.
Bibliografia consultada
MOISE, E. E.; DOWNS Jr., F. L. Geometria moder-
na. São Paulo: Edgard Blücher, 1971.
Ângulos formados por uma reta transversal a 
duas retas (página 410)
Sugerimos que os alunos sejam divididos em grupos 
para a realização da atividade. Ela se inicia com um tre-
cho de uma notícia em que o termo “transversal” aparece 
em uma situação do cotidiano. É importante que os alu-
nos percebam que a palavra “transversal” também é usada 
fora do contexto da Geometria. Você pode conduzir a 
leitura com os grupos até esse ponto.
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Ensino Fundamental
O próximo passo é fornecer aos alunos os materiais 
e dar as orientações para que eles montem a estrutura 
apresentada no Caderno do Aluno. Cada grupo preci-
sará de três palitos e dois percevejos (tachinhas). Dê 
preferência aos palitos de sorvete retangulares, já que 
eles vão representar retas. Caso não encontre palitos 
desse tipo, use os de extremidades arredondadas (veja 
figuras).
Palitos de sorvete
Após se certificar de que todos os grupos montaram 
corretamente suas estruturas, deixe-os explorá-las con-
forme as orientações do Caderno do Aluno. Nesta etapa, 
eles deverão perceber que, no contexto proposto (duas 
retas cortadas por uma transversal), são determinados 
oito ângulos, além de identificar os ângulos alternos 
internos. Faça um breve fechamento e passe para a 
próxima seção.
Propriedades dos ângulos em retas paralelas 
cortadas por uma transversal (página 411)
Nesta etapa da investigação, ainda em grupo, os alu-
nos deverão identificar a propriedade fundamental do 
paralelismo: duas retas cortadas por uma transversal são 
paralelas se, e somente se, os ângulos alternos internos, 
por elas determinados, forem congruentes. Deixe que 
todos os grupos cheguem a essa conclusão (item 5) e, 
então, faça um fechamento da atividade. É importante 
repassar os seguintes pontos:
• Em um sentido da implicação, quando são dadas 
duas retas paralelas cortadas por uma transversal, 
podemos concluir que os ângulos alternos internos 
serão congruentes.
• No outro sentido, quando constatamos que os ân-
gulos alternos internos determinados por duas retas 
cortadas por uma transversal são congruentes, pode-
mos concluir que as retas são paralelas.
Uma maneira de facilitar a identificação de ângulos 
alternos internos em retas paralelas é referir-se a eles 
como ângulos do “Z”, como mostrado na figura a seguir.
Retas paralelas cortadas por transversal formando o desenho da letra “Z”.
Incentive os alunos a procurar o “Z” em diferentes 
situações envolvendo retas paralelas e, em seguida, iden-
tificar os ângulos alternos internos congruentes. Veja 
algumas situações que podem ser mostradas aos alunos; 
em todos os casos as retas r e s são paralelas.
r
s
s sr
r
Quando estiver certo de que todos compreenderam 
essa propriedade e são capazes de aplicá-la em diferentes 
situações, passe para o item 6. Usando essa propriedade, 
eles deverão encontrar todas as relações para os oito 
ângulos determinados por duas retas paralelas cortadas 
por uma transversal. Um bom resumo a ser mostrado aos 
alunos ao final da discussão é dado na figura a seguir, 
em que as retas r e s são paralelas.
y
y
y
s
x
r
y
x 1 y 5 180º
x
x
x
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Não é necessário cobrar dos alunos que decorem a nomenclatura dos ângulos (alternos, colaterais e correspon-
dentes). O fundamental é que eles conheçam as relações, independentemente dos nomes dos ângulos.
Por outro lado, essa nomenclatura os ajudará a descrever as relações entre os ângulos e suas medidas. Por isso, 
procure se referir aos pares de ângulos pelos seus nomes para que os alunos, de maneira natural, possam incorporar 
essa linguagem gradualmente.
A última aula do Módulo é dedicada à resolução de exercícios, para que os alunos possam aplicar a teoria vista 
em diferentes contextos. Forneça um tempo para que eles pensem nas questões e procurem desenvolver estratégias 
e, no final, faça a correção.
Respostas e comentários
Ângulos: retomada das ideias fundamentais (página 407)
1. a) 5% 5 5
5
100
1
20
.
b) Vamos chamar de d o deslocamento horizontal, em centímetros. Uma vez que 5% equivalem a 
1
20
, temos:
 5 5
50
d
1
20
       d 1000∴
Como 1 000 cm equivalem a 10 m, o deslocamento horizontal de uma pessoa que percorra toda a rampa será 
de 10 metros.
Observação: Existem inúmeras maneiras de realizar o cálculo acima. Procure valorizar as diferentes estraté-
gias usadas pelos alunos.
c) De acordo com a definição dada, uma inclinação de 5% significa que, para cada 1 quadradinho de desloca-
mento vertical, a rampa deverá promover um deslocamento horizontal de 20 quadradinhos. Como os dois 
níveis estão separados por 2 quadradinhos, o deslocamento horizontal deverá ser de 40 quadradinhos. Dessa 
forma, a extremidade final da rampa deverá estar no ponto Q indicado na figura a seguir.
Q
P
Nível 2
Nível 1
d) A medida do ângulo de inclinação da rampa é de aproximadamente 3°.
2. a) A figura mostra o ponto Q, extremidade final da rampa, e a medida do ângulo de inclinação DP̂Q .
RuaCalçada
B
D
A
P
Q
C7°
b) Ângulos como DP̂Q e CP̂Q são chamados de adjacentes. Ângulos adjacentes são, ao mesmo tempo, con-
secutivos e suplementares. Assim, a soma de suas medidas é igual a 180°.
c) m(CP̂Q) 1 m(DP̂Q) 5 180° [ m(CP̂Q) 1 7° 5 180° [ m(CP̂Q) 5 173°
d) Na figura construída, verificamos, com a régua, que a altura da rampa e o seu deslocamento horizontal va-
lem, respectivamente, 1,1 cm e 9 cm. Dessa forma, a inclinação da rampa é dada por ≈
1,1
9
0,12, isto é, 
aproximadamente 12%.
Note que a razão pedida corresponde à tangente de 7°, cujo valor é aproximadamente 0,123. As razões trigono-
métricas, porém, só serão abordadas no 9o ano.
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820 Ensino Fundamental
Exercício 1 (página 408)
1. Ângulo AV̂B.
a) Vértice: V.
b) Lados: 
u ruu
VA e 
u ruu
VB .
c) Medida: 60°.
d) Classificação: agudo.
e) Suplemento: 120°.
f) Complemento: 30°.
Ângulo PÔQ
a) Vértice: O.
b) Lados: 
u ruu
OP e 
u ruu
OQ .
c) Medida: 130°.
d) Classificação: obtuso.
e) Suplemento: 50°.
f) Não possui complemento.
2. a) Dois ângulos opostos pelo vértice (opv) têm me-
didas iguais.
b) 2x 1 15° 5 120° 2 5x [ 7x 5 105° [ x 5 15°
c) m(AÔB) 5 120° 2 5 ? 15° [ m(AÔB) 5 45°
d) m(AÔC) 5 180° 2 m(AÔB)
[ m(AÔC) 5 180°2 45° 5 135°
Ângulos formados por uma reta transversal a 
duas outras retas (página 410)
1. Apenas as ruas 1 e 2 podem ser as ruas Espanha e 
Suíça, pois as duas são transversais às ruas Argentina 
e Polônia.
2. Dizemos que a reta t é transversal às retas r e s 
quando ela intercepta r em um ponto P e s num 
ponto Q, distinto de P.
3. a) A figura abaixo mostra uma possibilidade para 
nomear as retas r, s e t.
r
t
s
Considerando o enunciado, também seria correta 
uma resposta em que as retas r e s estivessem 
invertidas.
b) São formados 8 ângulos.
c) Cada grupo poderá fazer sua própria numeração. 
Se preferir, combine com todos os grupos uma 
mesma numeração, para facilitar a discussão final. 
Sugerimos uma possibilidade.
s
t
6
8
5
7
3
4
2
1
r
4. São alternos internos os seguintes pares de ângulos: 
(3 e 5) e (4 e 6).
Propriedades dos ângulos em retas paralelas 
cortadas por uma transversal (página 412)
1. a) Os dois ângulos que formam cada par de ângulos 
alternos internos têm medidas iguais (os ângulos de 
um dos pares medem 60° e os ângulos do outro par 
medem 120°).
b) Nessa situação, as retas r e s são paralelas.
2. Em todos os casos, as retas r e s são paralelas.
3. Nessa situação, os ângulos alternos internos são con-
gruentes.
4. Nessa situação, observa-se que os ângulos alternos 
internos têm medidas diferentes.
5. a) Uma possível resposta:
t
r
s
b) Neste item, é importante que todos os grupos 
cheguem a duas conclusões:
• se as retas r e s são paralelas, então os ângulos 
alternos internos têm medidas iguais;
• se os ângulos alternos internos têm medidas 
iguais, então as retas r e s são paralelas.
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Note que a primeira conclusão é a recíproca da se-
gunda, e vice-versa. É importante que os alunos te-
nham essa clareza, pois em algumas situações eles 
terão a informação de que as retas são paralelas, 
podendo concluir que os ângulos alternos internos 
terão medidas iguais. Em outras situações, eles usa-
rão o fato de os ângulos alternos internos serem 
congruentes para concluir que as retas são paralelas.
6. a) As medidas b e d são iguais, pois correspondem 
a ângulos opv.
b) As medidas d e f são iguais, pois correspondem 
a ângulos alternos internos de retas paralelas.
c) Usando o fato de f e h serem medidas de ângulos 
opv e as conclusões dos itens anteriores, conclui-
-se que as medidas b, d, f e h são todas iguais.
d) De modo análogo ao item c, as medidas a, c, e e 
g são todas iguais.
e) As medidas a e d somam 180°, pois correspondem 
a ângulos adjacentes.
f) As medidas a e h também somam 180°, pois as 
medidas d e h são iguais.
g) Os oito ângulos formados por duas retas paralelas 
cortadas por uma transversal podem ser divididos 
em dois grupos:
• No primeiro grupo, em que estão os ângulos b, 
d, f e h, todas as medidas são iguais.
• No segundo grupo, em que estão os ângulos a, 
c, e e g, todas as medidas também são iguais.
• A soma da medida de qualquer ângulo do pri-
meiro grupo com a medida de qualquer ângulo 
do segundo grupo sempre vale 180°.
Exercício 2 (página 415)
1. a), b)
a
b
b
b
aa
b
b
aa
c) a 1 b 5 180°
2. Do enunciado, temos a figura:
Aplicando a propriedade dos ângulos alternos inter-
nos e usando a informação de que os ângulos agudos 
formados por qualquer uma das ripas transversais 
com as ripas paralelas têm todos a mesma medida, 
concluímos que os dois ângulos consecutivos ao ân-
gulo de 116° medem x. Assim,
x 1 116° 1 x 5 180° [ x 5 32°
Pela propriedade dos ângulos colaterais internos, se-
gue que:
x 1 y 5 180° [ 32° 1 y 5 180° [ y 5 148°
Portanto, x 5 32° e y 5 148°.
3. a) 3x 2 10° 5 x 1 40° [ x 5 25°
y 1 (x 1 40°) 5 180° [ y 1 (25° 1 40°) 5 180°
[ y 5 115°
Assim, x 5 25° e y 5 115°.
b) (x 1 15°) 1 (6x 2 10°) 5 180° [ 7x 1 5° 5 180°
[ x 5 25°
2y 5 x 1 15° [ 2y 5 25° 1 15° [ y 5 20°
Assim, x 5 25° e y 5 20°.
4. São paralelas as retas r e t, pois elas definem ângulos 
alternos internos com medidas iguais (ambos medem 
120°).
5. Esta é uma questão mais difícil, pois exige que os alu-
nos tenham a iniciativa de traçar outra reta na figura. 
Dê um tempo para que eles discutam suas estratégias 
em grupo, evitando fornecer a sugestão de traçar uma 
nova reta t, paralela a r (que será também paralela a 
s); o ideal é que os próprios alunos percebam isso.
Feita essa construção, o problema é resolvido como 
mostrado na figura a seguir.
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Ensino Fundamental
40º
40º
70º
70º
r
t // r
t // s
s
Da figura, temos a 5 40° 1 70°, ou seja, a 5 110°.
Observação: A propriedade utilizada neste exercí-
cio é denominada transitividade do paralelismo: 
se s // r e r // t, então s // t. Se julgar conveniente, 
comente isso com os alunos, sem necessariamente 
citar o nome da propriedade.
Teste (página 417)
1. Alternativa B.
Da informação de que todos os números têm a mes-
ma chance de sair, concluímos que todos os ângu-
los centrais correspondentes aos setores nos quais a 
roleta foi dividida têm a mesma medida. Como são 
cinco setores, temos:
°
∴ °a 5 a 5
360
5
        72
Além do conteúdo de medidas de ângulos e arcos, a 
questão envolve as ideias básicas de probabilidade, 
que foram trabalhadas no 7o ano. É preciso que os 
alunos percebam que, ao girar uma roleta, a chance 
de obter um determinado setor está ligada à medida 
do seu ângulo central: quanto maior o ângulo, maior a 
chance. Por isso, se achar necessário, faça uma breve 
retomada dessas ideias antes de propor a questão.
Outro aspecto importante para a resolução da questão 
é o reconhecimento de que a medida de qualquer 
circunferência é 360°. Por isso, durante a primeira 
aula do Módulo, destaque esse fato.
2. Alternativa C.
Como a questão pede a identificação de um par de 
ângulos alternos internos, pode-se eliminar, logo de 
partida, o ângulo u, pois ele não está localizado na 
região entre as retas a e b. Dos três ângulos que res-
tam, a e g estão localizados em lados opostos da reta 
transversal. Logo, eles são ângulos alternos internos.
Durante a correção, destaque o fato de que os ângulos 
a e b, apesar de estarem localizados em lados opostos 
da reta transversal, não são alternos internos. Eles são 
adjacentes, possuindo o vértice e um lado comum.
A identificação de ângulos alternos internos será fun-
damental para o entendimento das propriedades dos 
ângulos em retas paralelas cortadas por uma transver-
sal, que serão trabalhadas na terceira e quarta aulas 
do Módulo. Dessa forma, utilize o exercício para veri-
ficar se, ao final da aula, todos os alunos são capazes 
de identificar esses ângulos. Se necessário, desenhe 
outros pares de retas cortadas por uma transversal, 
em diferentes posições, e peça aos alunos que iden-
tifiquem os ângulos alternos internos.
3. Alternativa A.
Do enunciado, temos a figura, em que o ângulo AB̂D 
mede b, pela propriedade dos ângulos correspon-
dentes aplicada às retas paralelas r e s cortadas pela 
transversal u, e o ângulo CB̂D também mede b por-
que 
u ruu
BD é a bissetriz do ângulo AB̂C.
u
r
s
t
bb
b
A
D
C
B
126¼
Aplicando a propriedade dos ângulos colaterais internos 
às retas paralelas r e s cortadas pela transversal t, temos:
2b 1 126° 5 180° [ b 5 27°
A questão, por envolver um par de retas paralelas corta-
das por duas transversais diferentes, apresenta um nível 
maior de complexidade. Por isso, você pode utilizá-la 
ao final da terceira aula do Módulo para verificar se os 
alunos já se apropriaram de todas as propriedades dos 
ângulos em retas paralelas cortadas por uma transversal.
Durante a correção, procure socializar algumas reso-
luções dos alunos, que podem ter usado propriedades 
diferentes das que utilizamos acima.
4. Alternativa D.
Usando as propriedades dosângulos adjacentes e dos ân-
gulos alternos internos em retas paralelas, temos a figura:
s
u
180º 2 b
180º 2 b
r
t
b
�
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Assim, devemos ter:
a 1 90° 1 (180º 2 b) 5 180° [ b 5 a 1 90°
Essa questão envolve manipulações algébricas que 
podem trazer dificuldade a alguns alunos. Durante a 
correção, procure identificar e orientar esses alunos.
Também se pode resolver essa questão usando a pro-
priedade de que a soma dos ângulos internos de qual-
quer triângulo vale 180°, que será vista ainda neste 
Caderno. Na ocasião, se julgar conveniente, retome o 
exercício com os alunos.
Em casa (página 418)
1. a) 30° (agudo)
b) 60° (agudo)
c) 90° (reto)
d) 105° (obtuso)
e) 20° (agudo)
f) 60° (agudo)
g) 120° (obtuso)
h) 180° (raso)
i) 130° (obtuso)
j) 15° (agudo)
k) 70° (agudo)
l) 60° (agudo)
2. a) 5°30’
b) I. 90° (reto)
 II. 95°30’ (obtuso)
 III. 84°30’ (agudo)
 IV. 84°30’ (agudo)
 V. 180° (raso)
3. Rampa 1: 20°. Rampa 2: 35°. Rampa 3: 15°.
A rampa 2 é a mais inclinada.
4. Sendo x a medida de cada ângulo assinalado, deve-
mos ter:
5x 1 2 ? 90° 5 360° [ x 5 36°
Assim, cada ângulo assinalado mede 36°.
5. Há várias respostas possíveis. Alguns exemplos:
a) AB̂F e CB̂D
b) EF̂H e HF̂G
c) AB̂F e BF̂G
6. 
Rua da Bananeira
Nova Avenida
A
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Praça das
Amoras
Rua d
o Aba
cateir
o
Observação: Quando fizer a correção da tarefa, cer-
tifique-se de que todos os alunos foram capazes de 
traçar uma reta paralela usando esquadros. Caso seja 
necessário, relembre-os do procedimento.
7. a) x 5 50° e y 5 120°
b) x 5 70° e y 5 110°
c) x 5 70° e y 5 60°
d) x 5 80° e y 5 80°
8. a) r e s são paralelas, pois os ângulos alternos in-
ternos têm medidas iguais (note que o ângulo 
adjacente ao de medida 123° mede 57°).
b) r e s não são paralelas, pois os ângulos alternos 
internos têm medidas diferentes (117° Þ 119°).
9. a) colaterais externos (são suplementares).
b) alternos externos (são congruentes).
c) alternos externos (são congruentes).
d) correspondentes (são congruentes).
e) alternos internos (são congruentes).
f) opostos pelo vértice (são congruentes).
g) adjacentes (são suplementares).
10. a) 2a 5 a 1 32° [ a 5 32°
b) 2a 1 a 5 180° [ 3a 5 180° [ a 5 60°
c) (5a 1 10°) 1 (2a 1 16°) 5 180° [ 7a 1 26° 5
5 180° [ a 5 22°
11. O ângulo agudo formado pelas rotas dos dois aviões 
mede 35°.
A figura mostra as rotas dos dois aviões com a indi-
cação das medidas de dois pares de ângulos alternos 
internos e do ângulo agudo formado pelas duas rotas.
A
320°
20°
35°
35°
a
A
1
A
2
N
S
LO
Como as direções norte-sul e leste-oeste são perpen-
diculares, devemos ter:
20° 1 a 1 35° 5 90° [ a 5 35°
12. Verifique as anotações no glossário.
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824 Ensino Fundamental
3. ÂNGULOS INTERNOS NOS QUADRILÁTEROS 
NOTÁVEIS
AULAS 8 e 9
Objetivos
• Estabelecer as relações entre as medidas dos ângulos internos de um trapézio.
• Estabelecer as relações entre as medidas dos ângulos internos de um paralelogramo.
Roteiro de aulas (sugestão)
Aula Descrição Anotações
8
Retorno das tarefas 10 a 12 do Módulo 2
Abertura do Módulo
Ângulos internos de um trapézio 
Exercício 1
Teste (item 1)
Orientações para as tarefas 1 a 3 (Em casa)
9
Retorno das tarefas 1 a 3
Ângulos internos de um paralelogramo
Exercício 2
Teste (item 2)
Orientações para as tarefas 4 a 7 (Em casa)
Exercícios complementares correspondentes a este Módulo: 11 a 13.
Noções básicas
Ao final deste Módulo, espera-se que os alunos sejam capazes de aplicar as propriedades dos ângulos formados 
por duas retas paralelas cortadas por uma transversal para estabelecer as relações entre as medidas dos ângulos 
internos de um trapézio e de um paralelogramo.
Estratégias e orientações
Este Módulo é uma continuação do anterior, tendo como objetivo aplicar as propriedades dos ângulos deter-
minados por uma reta transversal a duas retas paralelas para estabelecer as relações entre as medidas dos ângulos 
internos de alguns quadriláteros notáveis (trapézios e paralelogramos).
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M
a
n
u
a
l 
d
o
 P
ro
fe
ss
o
r
Para motivar o estudo, apresentamos, como abertura 
do Módulo, a pirâmide de vidro do Museu do Louvre, 
na França. Em suas faces, dois feixes de linhas parale-
las se cruzam determinando vários losangos idênticos, 
preenchidos pelas placas de vidro que dão à pirâmide 
sua aparência imponente.
A identificação das figuras na superfície da pirâmide 
sugere aos alunos a possibilidade de utilizar os conhe-
cimentos adquiridos no Módulo anterior para investigar 
as propriedades dos ângulos dos quadriláteros notáveis.
Você pode explorar o tema a partir de uma rápida 
leitura do texto de abertura. Se houver tempo disponível, 
é possível ampliar a discussão, mostrando outros exem-
plos de integração entre a Geometria, a Arquitetura e a 
Arte. Neste caso, seria interessante envolver também o 
professor de Arte.
Atividades de construção de conceitos
Ângulos internos de um trapézio (página 423)
No início desta seção, os alunos deverão retomar 
as definições dos cinco tipos de quadriláteros notáveis. 
Incentive-os a consultar o glossário caso seja necessário. 
Faça um fechamento com a classe após a realização do 
item 1, para certificar-se de que todos os grupos têm as 
definições corretas.
Após essa retomada, oriente-os a explorar as pro-
priedades do trapézio, conforme as instruções dadas no 
Caderno do Aluno.
Quando os grupos terminarem o item 3, faça uma 
socialização das respostas do item 3b, em que eles enun-
ciaram a propriedade dos ângulos do trapézio. É impor-
tante que todos os alunos tenham esse enunciado escrito 
de maneira bem clara.
Peça aos alunos que façam o exercício da seção 
seguinte.
Ângulos internos de um paralelogramo
(página 426)
Esta seção segue a mesma linha da anterior. Desta 
vez, porém, serão explorados os ângulos internos de um 
paralelogramo.
Durante o fechamento, feito no item 2, é importante 
destacar que todo losango é também um paralelogramo, 
como estudado no 6o ano. Assim, as propriedades dedu-
zidas para os paralelogramos também são válidas para os 
losangos. Este fato será utilizado no segundo exercício 
da seção Exercício 2.
Respostas e comentários
Ângulos internos de um trapézio (página 424)
1. a)
Quadrado = laranja
Retângulo = verde
Losango = amarelo
Paralelogramo = vermelho
Trapézio = azul
Mr
s
a
b
c
d e
f g
N
U
T
V
P
Observação: Não há apenas um paralelogramo ou 
apenas um trapézio na figura dada. Por exemplo, 
todo quadrado é paralelogramo. Assim, o quadrado 
poderia ter sido pintado de vermelho. Nesse caso, 
porém, não seria possível encontrar um representante 
diferente para cada tipo de quadrilátero notável. Daí 
a escolha feita na resposta acima.
b) Quadrado: possui todos os lados com medidas 
iguais e todos os ângulos com medidas iguais 
(cada um mede 90°).
Retângulo: possui todos os ângulos com medidas 
iguais (cada um mede 90°).
Losango: possui todos os lados com medidas iguais.
Paralelogramo: possui dois pares de lados paralelos.
Trapézio: possui um par de lados paralelos.
2. a) As bases são os lados AD e BC.
b) A altura é 2 cm.
c) A soma das medidas dos ângulos a e b é 180°, 
pois, em relação às retas paralelas r e s cortadas 
pela transversal u, esses ângulos são colaterais 
internos.
d) A soma das medidas dos ângulos c e d é 180°, 
pois, em relação às retas paralelas r e s cortadas 
pela transversal t, esses ângulos são colaterais in-
ternos.
3. a) São consecutivos os pares de ângulos: (a e b),
(b e c), (c e d), (d e a).
São opostos os pares de ângulos: (a e c), (b e d).
b) Em todo trapézio, dois ângulos consecutivos, com 
vértices em bases diferentes desse trapézio, são 
suplementares.
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