Considere a equação trigonométrica cos 3x.cos 2x – sen 3x.sen 2x = 0. O número de raízes da equação, no intervalo 0 2 5 , ,≠ é: O número de raízes...

Considere a equação trigonométrica cos 3x.cos 2x – sen 3x.sen 2x = 0. O número de raízes da equação, no intervalo 0 2 5 , ,≠ é:

O número de raízes da equação é igual ao número de vezes que a função muda de sinal no intervalo dado.
Podemos reescrever a equação como cos(3x-2x) = cos(x) e, portanto, as raízes ocorrem quando 3x-2x = 2kπ ± x, para k inteiro.
Substituindo x = 0, temos que a equação é satisfeita. Portanto, há pelo menos uma raiz no intervalo dado.
Substituindo x = 2π/5, temos que a equação é satisfeita. Portanto, há pelo menos uma raiz no intervalo dado.
Substituindo x = π, temos que a equação é satisfeita. Portanto, há pelo menos uma raiz no intervalo dado.
A) 2.
B) 1.
C) 3.
D) 4.

Matemática

•

Outros

Matematicamente

18/02/2024

Respostas

18.02.2024

Podemos reescrever a equação como cos(3x-2x) = cos(x) e, portanto, as raízes ocorrem quando 3x-2x = 2kπ ± x, para k inteiro. No intervalo 0 < x < 2π/5, temos que 3x-2x varia de 0 a π/5, portanto, cos(3x-2x) varia de cos(0) = 1 a cos(π/5) < 1. Por outro lado, cos(x) varia de cos(0) = 1 a cos(2π/5) < 0 e, portanto, há uma mudança de sinal no intervalo 0 < x < 2π/5. No intervalo 2π/5 < x < π, temos que 3x-2x varia de π/5 a π, portanto, cos(3x-2x) varia de cos(π/5) < 1 a cos(π) = -1. Por outro lado, cos(x) varia de cos(2π/5) < 0 a cos(π) = -1 e, portanto, não há mudança de sinal no intervalo 2π/5 < x < π. Portanto, há duas raízes no intervalo dado. Resposta: A) 2.