Prove que se um trapézio isósceles tem os lados congruentes com comprimento a, os lados paralelos com comprimentos bec, e diagonals com comprimento...

Para provar que d² = a² + bc, podemos usar o Teorema de Pitágoras. Primeiro, vamos desenhar o trapézio isósceles e marcar seus lados e diagonais: ``` b _________ c / \ / \ / \ / \ a ---------------- a d ``` Observe que podemos dividir o trapézio em dois triângulos retângulos, um com hipotenusa d, catetos a/2 e bc/2, e outro com hipotenusa d, catetos a/2 e bc/2. ``` b _________ c / \ / \ / \ / \ a ---------------- a d a/2 | bc/2 | | | | | | | | | | ______|______ d ``` Usando o Teorema de Pitágoras em cada um desses triângulos, temos: ``` (d/2)² + (a/2)² = (d/2)² + (bc/2)² d²/4 + a²/4 = d²/4 + b²c²/4 a²/4 = b²c²/4 a² = bc² ``` Agora, podemos usar essa última equação para substituir bc por a²/c na equação original: ``` d² = a² + bc d² = a² + a²/c d² = a²(1 + 1/c²) d² = a²(c² + 1)/c² d² = a²(c² + 1)/c² d² = a² + a²/c² ``` Observe que a última equação é igual à equação que encontramos anteriormente, a² = bc²/4. Portanto, podemos substituir a²/c² por bc²/4c² e obter: ``` d² = a² + bc d² = a² + bc²/4c² d² = a² + a²/4 d² = 5a²/4 ``` Finalmente, podemos multiplicar ambos os lados por 4/5 para obter: ``` d² = a² + bc d² = 4a²/5 + bc/5 ``` Portanto, provamos que se um trapézio isósceles tem os lados congruentes com comprimento a, os lados paralelos com comprimentos bec, e diagonais com comprimento d, então d² = a² + bc.