resolva a integral \int _{\sqrt{x}}^2\:\frac{7,\:6}{y^3+5,\:1}dy

Para resolver essa integral, podemos utilizar a regra da substituição. Fazendo a substituição y = t², temos: dy = 2t dt y³ = t⁶ Substituindo na integral, temos: ∫(√x até 2) 7,6/(y³ + 5,1) dy = ∫(1 até √x) 7,6/(t⁶ + 5,1) 2t dt Simplificando, temos: 15,2 ∫(1 até √x) t/(t⁶ + 5,1) dt Fazendo a substituição u = t³, temos: du = 3t² dt t dt = du/3 Substituindo na integral, temos: 15,2/3 ∫(1 até x^(3/2)) du/(u² + 5,1) Utilizando a fórmula da tangente inversa, temos: 15,2/3 [arctan(u/√5,1)](1 até x^(3/2)) Substituindo u = t³, temos: 15,2/3 [arctan(t³/√5,1)](1 até x^(1/2)) Portanto, a solução da integral é: 15,2/3 [arctan(2³/√5,1) - arctan(1/√5,1)]