Considere as funções f(x,y) = 7,6 e g(x) = y³ + 5,1 Calcule ∫04 ∫�2 �(�,�)�(�,�)����\int _0^4\:\int _{\sqrt{x}}^2\:\frac{f\left(x,y\right)}{g\l...

Primeiramente, vamos substituir as funções f(x,y) e g(x,y) na integral dada: ∫04 ∫�2 �(�,�)�(�,�)����\int _0^4\:\int _{\sqrt{x}}^2\:\frac{f\left(x,y\right)}{g\left(x,y\right)}dydx∫ 0 4 ​ ∫ x ​ 2 ​ g(x,y) f(x,y) ​ dydx = ∫0^4 ∫√x^2 (7,6)/(y³+5,1) dydx Agora, vamos resolver a integral interna em relação a y: ∫(7,6)/(y³+5,1) dy = (7,6/3,3) * ln|y³+5,1| + C Substituindo os limites de integração: ∫√x^2 2 (7,6)/(y³+5,1) dy = (7,6/3,3) * ln|2³+5,1| - (7,6/3,3) * ln|x³+5,1| Agora, vamos resolver a integral externa em relação a x: ∫0^4 (7,6/3,3) * ln|2³+5,1| - (7,6/3,3) * ln|x³+5,1| dx = (7,6/3,3) * ln|2³+5,1| * ∫0^4 dx - (7,6/3,3) * ∫0^4 ln|x³+5,1| dx = (7,6/3,3) * ln(13,1) * 4 - (7,6/3,3) * ∫0^4 ln|x³+5,1| dx Agora, vamos resolver a integral restante: ∫0^4 ln|x³+5,1| dx = [x * ln|x³+5,1| - ∫(3x²)/(x³+5,1) dx] de 0 a 4 = [4 * ln|4³+5,1| - ∫(3x²)/(x³+5,1) dx] - [0 * ln|0³+5,1| - ∫(3x²)/(x³+5,1) dx] = [4 * ln(69,1) - (3/2) * ln|4³+5,1| + (3/2) * ln|0³+5,1|] = 4 * ln(69,1) - (3/2) * ln(69,1) = 2,39 Portanto, a resposta final é 2,39.