Determine a área da superfície que corresponde à parte do plano 5???? + 3???? − ???? + 6 = 0 que está acima do retângulo [1,4] × [2,6] localizado no plan...

Primeiramente, podemos encontrar a interseção entre o plano e o retângulo, substituindo as coordenadas dos vértices do retângulo na equação do plano: 5x + 3y - z + 6 = 0 Para (1,2): 5(1) + 3(2) - z + 6 = 0 z = 20 Para (1,6): 5(1) + 3(6) - z + 6 = 0 z = 3 Para (4,2): 5(4) + 3(2) - z + 6 = 0 z = 23 Para (4,6): 5(4) + 3(6) - z + 6 = 0 z = 11 Portanto, a superfície que corresponde à parte do plano que está acima do retângulo está limitada pelas curvas z = 5x + 3y + 6 e z = 5x + 3y - 20. Podemos parametrizar a superfície adotando x = u; y = v; z = 5u + 3v + 6. Sendo assim, para determinar a área da superfície devemos calcular: A = ∬√(1 + (dz/dx)² + (dz/dy)²)dA A região D é tal que x ∈ [1,4] e y ∈ [2,6], isto é, 1 ≤ x ≤ 4 e 2 ≤ y ≤ 6. Calculando as derivadas parciais, temos: dz/dx = 5 dz/dy = 3 Substituindo na fórmula da área, temos: A = ∬√(1 + 5² + 3²)dxdy A = ∬√35dxdy A = √35∬dxdy A = √35(xy)|[1,4]x[2,6] A = √35(4*6 - 1*2) A = √35(22) A = 22√35 Portanto, a área da superfície que corresponde à parte do plano que está acima do retângulo [1,4] × [2,6] é 22√35.