Seja um plano determinado pelos pontos A(1,-1,2), B(2,0,-1) e C(0,2,1). Determine a distância da origem ao plano ABC, projetando OA sobre o vetor n...

A distância da origem ao plano ABC pode ser encontrada projetando o vetor OA (vetor que liga a origem ao ponto A) sobre o vetor normal N do plano ABC. Para encontrar o vetor normal N, podemos calcular o produto vetorial dos vetores AB e AC: AB = B - A = (2 - 1, 0 - (-1), (-1) - 2) = (1, 1, -3) AC = C - A = (0 - 1, 2 - (-1), 1 - 2) = (-1, 3, -1) N = AB x AC = (1, 1, -3) x (-1, 3, -1) = (-8, -4, -4) Agora, vamos projetar o vetor OA sobre o vetor normal N: projN(OA) = (OA . N / |N|^2) * N onde "." representa o produto escalar e "|N|" representa o módulo do vetor N. OA = (1, -1, 2) |N| = sqrt((-8)^2 + (-4)^2 + (-4)^2) = sqrt(96) = 4*sqrt(6) OA . N = (1)*(-8) + (-1)*(-4) + (2)*(-4) = -8 - 4 - 8 = -20 projN(OA) = (-20 / (4*sqrt(6))^2) * (-8, -4, -4) = (-20 / 96) * (-8, -4, -4) = (5/12)*(8, 4, 4) = (10/3, 5/3, 5/3) A distância da origem ao plano ABC é a magnitude do vetor projetado: dist = |projN(OA)| = sqrt((10/3)^2 + (5/3)^2 + (5/3)^2) = sqrt(100/9) = 10/3 Portanto, a distância da origem ao plano ABC é (sqrt(6))/3.