15. Consider the function f(x) = 2cos(x) + sin(2x). What is the minimum and maximum value of f(x) in the interval [0, 4π]? a) min f = -3√3/2 and ...

Para encontrar o valor mínimo e máximo de f(x) no intervalo [0, 4π], podemos usar a primeira derivada da função e igualá-la a zero para encontrar os pontos críticos. Em seguida, podemos usar o teste da segunda derivada para determinar se esses pontos são mínimos ou máximos. A primeira derivada de f(x) é f'(x) = -2sin(x) + 2cos(2x). Igualando a zero, temos: -2sin(x) + 2cos(2x) = 0 sin(x) = cos(2x) Dividindo ambos os lados por cos(x), temos: tan(x) = 2 - tan²(x) tan²(x) + tan(x) - 2 = 0 Resolvendo a equação quadrática, temos: tan(x) = 1 ou tan(x) = -2 Os valores de x que satisfazem a primeira equação são x = π/4 e x = 5π/4. Os valores de x que satisfazem a segunda equação são x = 3π/4 e x = 7π/4. Agora, podemos usar o teste da segunda derivada para determinar se esses pontos são mínimos ou máximos. A segunda derivada de f(x) é f''(x) = -2cos(x) - 4sin(2x). Avaliando a segunda derivada em cada ponto crítico, temos: f''(π/4) = -2cos(π/4) - 4sin(π/2) = -2√2 - 4 < 0, então x = π/4 é um máximo local. f''(3π/4) = -2cos(3π/4) - 4sin(3π/2) = 2√2 - 4 < 0, então x = 3π/4 é um máximo local. f''(5π/4) = -2cos(5π/4) - 4sin(π) = -2√2 + 4 > 0, então x = 5π/4 é um mínimo local. f''(7π/4) = -2cos(7π/4) - 4sin(2π) = 2√2 + 4 > 0, então x = 7π/4 é um mínimo local. Agora, podemos avaliar f(x) em cada um desses pontos críticos e nos extremos do intervalo [0, 4π]: f(0) = 2cos(0) + sin(0) = 2 f(π/4) = 2cos(π/4) + sin(π/2) = 3/√2 f(3π/4) = 2cos(3π/4) + sin(3π/2) = -1/√2 f(5π/4) = 2cos(5π/4) + sin(π) = -3/√2 f(7π/4) = 2cos(7π/4) + sin(2π) = 1/√2 f(4π) = 2cos(4π) + sin(8π) = 2 Portanto, o valor mínimo de f(x) no intervalo [0, 4π] é -3/√2 e o valor máximo é 3/√2. A resposta correta é a alternativa a) min f = -3√3/2 e max f = 3√3/2.