Using the method of Lagrange multipliers, find the dimensions of the cylinder that optimize its volume. a cylinder is inscribed in a sphere of radi...

Para resolver este problema, podemos utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange. Seja V o volume do cilindro, h a altura do cilindro e r o raio da base do cilindro. Temos que o raio da esfera é a, então o diâmetro da esfera é 2a. A função a ser otimizada é V = πr²h, sujeita à restrição da esfera: r² + h² = a². Podemos escrever a função Lagrangeana como L = πr²h + λ(r² + h² - a²), onde λ é o multiplicador de Lagrange. Para encontrar os pontos críticos, devemos igualar as derivadas parciais de L a zero: ∂L/∂r = 2πrh + 2λr = 0 ∂L/∂h = πr² + 2λh = 0 ∂L/∂λ = r² + h² - a² = 0 A partir da primeira equação, podemos escrever h em função de r: h = -πr/2λ. Substituindo na segunda equação, temos r = √(2λ/a) e, portanto, h = -π√(2λa)/2λ. Substituindo r e h na terceira equação, obtemos λ = π/2a. Com isso, podemos encontrar r e h: r = √(a²/2) h = √(a²/2) Portanto, as dimensões do cilindro que otimizam o volume são r = h = √(a²/2).