Using the method of Lagrange multipliers, find the maximum area of a cylinder inscribed in a sphere of radius a. a cylinder is inscribed in a spher...

Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, podemos encontrar a área máxima de um cilindro inscrito em uma esfera de raio a. Seja r o raio do cilindro e h a altura do cilindro. A área do cilindro é dada por A = 2πrh e o volume é dado por V = πr²h. A restrição é que o cilindro está inscrito em uma esfera de raio a, ou seja, o diâmetro do cilindro é igual ao diâmetro da esfera. Portanto, temos a seguinte equação de restrição: r² + h² = a² Agora, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar o máximo de A sujeito à restrição acima. Definimos a função L(r, h, λ) = 2πrh + λ(r² + h² - a²). Então, calculamos as derivadas parciais de L em relação a r, h e λ e igualamos a zero: ∂L/∂r = 2πh + 2λr = 0 ∂L/∂h = 2πr + 2λh = 0 ∂L/∂λ = r² + h² - a² = 0 Resolvendo essas equações simultaneamente, obtemos: r = h r² + h² = a² Substituindo a primeira equação na segunda, temos: 2r² = a² Portanto, r = h = a/√2. Assim, o raio do cilindro é a/√2 e a altura é a√2. A área máxima é então: A = 2πrh = 2π(a/√2)(a√2) = 2πa². Portanto, a área máxima é 2πa².