6. Encontre as dimensões do cone circular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio r. Calcule o volume desse cone.

Question

Ed · Answer

Para encontrar as dimensões do cone circular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio r, podemos utilizar a seguinte estratégia:

1. Desenhe um esboço do problema, com a esfera e o cone inscrito.
2. Identifique as dimensões desconhecidas do cone, que são o raio da base (r) e a altura (h).
3. Utilize o Teorema de Pitágoras para relacionar o raio da base, a altura e a geratriz do cone. Temos que: r² + h² = g², onde g é a geratriz do cone.
4. Utilize a fórmula do volume do cone para expressar o volume em função de r e h. Temos que: V = (1/3) * pi * r² * h.
5. Utilize a equação do item 3 para substituir a geratriz em função de r e h. Temos que: g = sqrt(r² + h²).
6. Utilize a equação do item 4 para substituir a geratriz na fórmula do volume. Temos que: V = (1/3) * pi * r² * sqrt(r² + h²).
7. Utilize a equação do item 3 para isolar a altura em função do raio. Temos que: h = sqrt(g² - r²) = sqrt(r² + h² - r²) = sqrt((r² + h²) - r²) = sqrt(g² - r²).
8. Substitua a equação do item 7 na equação do item 6. Temos que: V = (1/3) * pi * r² * sqrt(g² - r²).
9. Derive a equação do item 8 em relação a r e iguale a zero para encontrar o valor de r que maximiza o volume. Temos que: dV/dr = (1/3) * pi * (2r * sqrt(g² - r²) - 2r³ / sqrt(g² - r²)) = 0. Simplificando, temos: 2r * sqrt(g² - r²) - 2r³ / sqrt(g² - r²) = 0. Multiplicando ambos os lados por sqrt(g² - r²), temos: 2r² - 2r⁴ / sqrt(g² - r²) = 0. Simplificando, temos: 2r² = 2r⁴ / sqrt(g² - r²). Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: 4r⁴ = 4r⁴ - 4r²g² + r⁴. Simplificando, temos: r²g² = (3/4) * r⁴. Portanto, g = sqrt(3) * r.
10. Substitua a equação do item 9 na equação do item 8 para encontrar o volume máximo. Temos que: V = (1/3) * pi * r² * sqrt((sqrt(3) * r)² - r²) = (1/3) * pi * r² * sqrt(2) * sqrt(3 - 2sqrt(2)).

Portanto, as dimensões do cone circular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio r são: raio da base = r e altura = sqrt(3) * r * sqrt(2 - sqrt(2)). O volume desse cone é: V = (1/3) * pi * r² * sqrt(2) * sqrt(3 - 2sqrt(2)).

Topografia

6. Encontre as dimensões do cone circular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio r. Calcule o volume desse cone.

lista 16 calc 01 -A- 2008-1

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1. Quais são as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito em um semi-ćırculo de raio r?

2. Uma página deve conter 60 cm2 de área impressa. As margens superior e inferior devem ter 3 cm, enquanto as laterais têm 2 cm cada. Encontre as dimensões da página que consomem a menor quantidade de papel.

3. Constrói-se uma janela normanda colocando-se um semićırculo em cima de uma janela retangular (figura ao lado). Encontre as dimensões da janela de área máxima, sabendo-se que seu peŕımetro é de 5 m.

5. Considere os triângulos retângulos no 1o. quadrante, cada um com seus lados apoiados nos eixos coorde-nados e em uma reta que contém o ponto (2, 3). Encontre o triângulo de área mı́nima.

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