7. Um oleoduto tem a forma da curva y = 1 − x2 com 0 ≤ x ≤ 1, x e y medidos em quilômetros. Será constrúıda uma cerca tangente à curva y = 1 − ...

Para encontrar o ponto P que minimiza a área do triângulo formado pela cerca e pelos eixos, podemos usar o cálculo diferencial. Primeiro, precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva y = 1 - x² no ponto P. Para isso, podemos calcular a derivada da função y em relação a x: y' = -2x A inclinação da reta tangente no ponto P é igual a y'(P). Então, a equação da reta tangente é dada por: y - y(P) = y'(P) * (x - x(P)) Substituindo y'(P) = -2x(P) e as coordenadas do ponto P, temos: y - (1 - x(P)²) = -2x(P) * (x - x(P)) Simplificando, temos: y = 2x(P) * x - x(P)² + 1 Agora, podemos encontrar as coordenadas do ponto P que minimizam a área do triângulo formado pela cerca e pelos eixos. A área do triângulo é dada por: A = (1/2) * x(P) * y(P) Substituindo a equação da reta tangente, temos: A = (1/2) * x(P) * (2x(P) * x(P) - x(P)² + 1 - 1) Simplificando, temos: A = (1/2) * x(P) * (x(P)² - x(P)) Para encontrar o valor de x(P) que minimiza a área A, podemos derivar a expressão em relação a x(P) e igualar a zero: dA/dx(P) = (1/2) * (3x(P)² - 2x(P)) = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: x(P) = 0 ou x(P) = 2/3 Como P é diferente de (0, 1), temos que x(P) = 2/3. Substituindo na equação da reta tangente, temos: y(P) = 4/9 Portanto, as coordenadas do ponto P que minimizam a área do triângulo são (2/3, 4/9).