7. Um oleoduto tem a forma da curva y = 1 − x2 com 0 ≤ x ≤ 1, x e y medidos em quilômetros. Será constrúıda uma cerca tangente à curva y = 1 − x2 no ponto P 6= (0, 1). Determine as coordenadas do ponto P de modo que a área da região triangular formada pela cerca e pelos eixos seja mı́nima.

Question

7. Um oleoduto tem a forma da curva y = 1 − x2 com 0 ≤ x ≤ 1, x e y medidos em quilômetros. Será constrúıda uma cerca tangente à curva y = 1 − ...

Ed · Answer

Para encontrar o ponto P que minimiza a área do triângulo formado pela cerca e pelos eixos, podemos usar o cálculo diferencial.

Primeiro, precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva y = 1 - x² no ponto P. Para isso, podemos calcular a derivada da função y em relação a x:

y' = -2x

A inclinação da reta tangente no ponto P é igual a y'(P). Então, a equação da reta tangente é dada por:

y - y(P) = y'(P) * (x - x(P))

Substituindo y'(P) = -2x(P) e as coordenadas do ponto P, temos:

y - (1 - x(P)²) = -2x(P) * (x - x(P))

Simplificando, temos:

y = 2x(P) * x - x(P)² + 1

Agora, podemos encontrar as coordenadas do ponto P que minimizam a área do triângulo formado pela cerca e pelos eixos. A área do triângulo é dada por:

A = (1/2) * x(P) * y(P)

Substituindo a equação da reta tangente, temos:

A = (1/2) * x(P) * (2x(P) * x(P) - x(P)² + 1 - 1)

Simplificando, temos:

A = (1/2) * x(P) * (x(P)² - x(P))

Para encontrar o valor de x(P) que minimiza a área A, podemos derivar a expressão em relação a x(P) e igualar a zero:

dA/dx(P) = (1/2) * (3x(P)² - 2x(P)) = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, temos:

x(P) = 0 ou x(P) = 2/3

Como P é diferente de (0, 1), temos que x(P) = 2/3. Substituindo na equação da reta tangente, temos:

y(P) = 4/9

Portanto, as coordenadas do ponto P que minimizam a área do triângulo são (2/3, 4/9).

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lista 16 calc 01 -A- 2008-1

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1. Quais são as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito em um semi-ćırculo de raio r?

2. Uma página deve conter 60 cm2 de área impressa. As margens superior e inferior devem ter 3 cm, enquanto as laterais têm 2 cm cada. Encontre as dimensões da página que consomem a menor quantidade de papel.

3. Constrói-se uma janela normanda colocando-se um semićırculo em cima de uma janela retangular (figura ao lado). Encontre as dimensões da janela de área máxima, sabendo-se que seu peŕımetro é de 5 m.

5. Considere os triângulos retângulos no 1o. quadrante, cada um com seus lados apoiados nos eixos coorde-nados e em uma reta que contém o ponto (2, 3). Encontre o triângulo de área mı́nima.

6. Encontre as dimensões do cone circular de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio r. Calcule o volume desse cone.

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