10. Um fabricante produz por semana x toneladas de um certo produto. O preço de venda é de p unidades monetárias por tonelada do produto e está relacionado com x por 5x = 375−3p, p ≥ 0. O custo de produção é de C(x) = 500 + 15x + x2/6 unidades monetárias. Determine x para que o lucro (=venda−custo) seja máximo. Determine, também, o lucro máximo.

Question

10. Um fabricante produz por semana x toneladas de um certo produto. O preço de venda é de p unidades monetárias por tonelada do produto e está...

Ed · Answer

Para resolver o problema, vamos seguir os passos necessários para encontrar o valor de $ x $ que maximiza o lucro.

1. **Encontrar a relação entre $ p $ e $ x $**:
   A relação dada é $ 5x = 375 - 3p $. Podemos rearranjar essa equação para encontrar $ p $:
   $$
   3p = 375 - 5x \implies p = \frac{375 - 5x}{3}
   $$

2. **Calcular a receita total $ R(x) $**:
   A receita total é dada pelo preço de venda multiplicado pela quantidade vendida:
   $$
   R(x) = p \cdot x = \left(\frac{375 - 5x}{3}\right) \cdot x = \frac{375x - 5x^2}{3}
   $$

3. **Calcular o custo total $ C(x) $**:
   O custo total é dado por:
   $$
   C(x) = 500 + 15x + \frac{x^2}{6}
   $$

4. **Calcular o lucro $ L(x) $**:
   O lucro é a receita menos o custo:
   $$
   L(x) = R(x) - C(x) = \frac{375x - 5x^2}{3} - \left(500 + 15x + \frac{x^2}{6}\right)
   $$

5. **Simplificar a expressão do lucro**:
   Para simplificar, vamos colocar tudo em um denominador comum (que é 6):
   $$
   L(x) = \frac{2(375x - 5x^2)}{6} - \left(\frac{3000 + 90x + x^2}{6}\right)
   $$
   $$
   L(x) = \frac{750x - 10x^2 - 3000 - 90x - x^2}{6}
   $$
   $$
   L(x) = \frac{-11x^2 + 660x - 3000}{6}
   $$

6. **Maximizar o lucro**:
   Para maximizar $ L(x) $, derivamos em relação a $ x $ e igualamos a zero:
   $$
   L'(x) = \frac{-22x + 660}{6} = 0
   $$
   $$
   -22x + 660 = 0 \implies 22x = 660 \implies x = 30
   $$

7. **Calcular o lucro máximo**:
   Agora, substituímos $ x = 30 $ na função de lucro:
   $$
   L(30) = \frac{-11(30)^2 + 660(30) - 3000}{6}
   $$
   $$
   L(30) = \frac{-9900 + 19800 - 3000}{6} = \frac{6000}{6} = 1000
   $$

Portanto, o valor de $ x $ que maximiza o lucro é $ x = 30 $ toneladas, e o lucro máximo é de $ 1000 $ unidades monetárias.

Ed · Answer

Para determinar o lucro máximo, precisamos encontrar a quantidade de toneladas que maximiza a diferença entre a receita de vendas e o custo de produção.

A receita de vendas é dada por R(x) = px, onde p é o preço de venda por tonelada e x é a quantidade de toneladas produzidas.

O custo de produção é dado por C(x) = 500 + 15x + x²/6.

Portanto, o lucro L(x) é dado por:

L(x) = R(x) - C(x)
L(x) = px - (500 + 15x + x²/6)
L(x) = px - 500 - 15x - x²/6

Substituindo p por 375/5 - 3x/5, temos:

L(x) = (375/5 - 3x/5)x - 500 - 15x - x²/6
L(x) = 75x - 3x²/5 - 500 - 15x - x²/6
L(x) = -x²/6 + (75 - 3/5)x - 500

Para encontrar o valor de x que maximiza o lucro, precisamos derivar L(x) em relação a x e igualar a zero:

L'(x) = -x/3 + 75/5 - 3/5
L'(x) = -x/3 + 72/5 = 0
x/3 = 72/5
x = 216/5

Para verificar se esse valor de x corresponde a um máximo, precisamos verificar se L''(x)

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1. Quais são as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito em um semi-ćırculo de raio r?

2. Uma página deve conter 60 cm2 de área impressa. As margens superior e inferior devem ter 3 cm, enquanto as laterais têm 2 cm cada. Encontre as dimensões da página que consomem a menor quantidade de papel.

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