Determine a família de soluções da integral indefinida integral espaço parêntese esquerdo x ao quadrado espaço mais espaço 1 parêntese direito à p...

Para resolver essa integral, podemos utilizar a técnica de substituição trigonométrica. Fazemos a substituição x = tan(t), e então temos: dx = sec²(t) dt x² + 1 = sec²(t) Substituindo na integral, temos: integral de [(x² + 1)² / x] dx = integral de [(sec²(t))² / tan(t)] sec²(t) dt = integral de [sec⁴(t) / sin(t)] dt Podemos utilizar a identidade trigonométrica sec²(t) - 1 = tan²(t) para reescrever a expressão como: integral de [(sec²(t) - 1 + 1)² / (tan(t) + 1)] sec²(t) dt = integral de [(tan²(t) + 2sec²(t) + 1) / (tan(t) + 1)] sec²(t) dt Fazendo a substituição u = tan(t) + 1, temos: du/dt = sec²(t) dt u - 1 = tan(t) Substituindo na integral, temos: integral de [(u² + 1) / u] du/dt = integral de [(u² + 1) / u] sec²(t) dt = integral de [(u² + 1) / (u(u - 1))] du Podemos utilizar frações parciais para decompor a expressão em: (u² + 1) / (u(u - 1)) = A/u + B/(u - 1) (u² + 1) = A(u - 1) + Bu Resolvendo para A e B, encontramos A = 1 e B = -1. Então, temos: integral de [(u² + 1) / (u(u - 1))] du = integral de [1/u - 1/(u - 1)] du = ln|u| - ln|u - 1| + C = ln|tan(t) + 1| - ln|tan(t)| + C = ln|x² + 1| - ln|x| + C Portanto, a família de soluções da integral indefinida é ln|x² + 1| - ln|x| + C, onde C é uma constante de integração.