10. Seja ABC um triângulo e sejam P , Q e R os pontos médios de seus lados. Se X é um ponto no interior de ABC, mostre que −−→ XA+ −−→ XB + −−→ ...

Para resolver esse problema, podemos usar o fato de que os pontos P, Q e R são os pontos médios dos lados do triângulo ABC. Isso significa que: - PA = PB = PC = 1/2 AB - QA = QB = QC = 1/2 BC - RA = RB = RC = 1/2 AC Agora, vamos usar essas informações para reescrever as expressões que aparecem na equação que queremos provar: - −−→ XA = −−→ XP + −−→ AP - −−→ XB = −−→ XQ + −−→ BQ - −−→ XC = −−→ XR + −−→ CR Substituindo essas expressões na equação original, obtemos: (−−→ XP + −−→ AP) + (−−→ XQ + −−→ BQ) + (−−→ XR + −−→ CR) = −−→ XP + −−→ XQ + −−→ XR Agora, podemos simplificar essa equação agrupando os termos comuns: −−→ AP + −−→ BQ + −−→ CR = 0 Mas observe que os vetores AP, BQ e CR são os vetores que ligam o ponto X aos pontos médios dos lados do triângulo ABC. Portanto, eles são chamados de vetores medianos e se encontram em um ponto chamado baricentro do triângulo. Como a soma dos vetores medianos é igual a zero, concluímos que o ponto X também deve estar no baricentro do triângulo.