20. Neste triângulo, a distância de M a A é o dobro da distância de M a B. Sabendo, ainda, que AN mede a terça parte da medida de CN , exprima −→ AP em função de −→ AB e −→ AC. R.: 10−→ AP = 6−→ AB + −→ AC.

Question

Ed · Answer

Para resolver esse problema, podemos utilizar a lei dos cossenos.

Seja x a medida da distância de M a B. Então, a distância de M a A é 2x.

Também sabemos que AN mede um terço da medida de CN. Seja y a medida de CN. Então, a medida de AN é y/3.

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABC, temos:

AC² = AB² + BC² - 2AB*BC*cos(∠BAC)

Substituindo BC por x e AB por 2x, temos:

AC² = (2x)² + x² - 2(2x)(x)*cos(∠BAC)

Simplificando, temos:

AC² = 5x² - 4x²*cos(∠BAC)

Dividindo ambos os lados por 2, temos:

AC²/2 = 5/2*x² - 2x²*cos(∠BAC)

Agora, aplicando a lei dos cossenos no triângulo AMN, temos:

AN² = AM² + MN² - 2AM*MN*cos(∠MAN)

Substituindo AM por 2x e MN por x, temos:

(y/3)² = (2x)² + x² - 2(2x)(x)*cos(∠MAN)

Simplificando, temos:

y²/9 = 5x² - 4x²*cos(∠MAN)

Substituindo cos(∠MAN) por cos(∠BAC), temos:

y²/9 = 5x² - 4x²*cos(∠BAC)

Multiplicando ambos os lados por 9/4, temos:

y² = 45/4*x² - 9x²*cos(∠BAC)

Agora, vamos encontrar uma expressão para cos(∠BAC). Para isso, vamos usar a relação entre as medidas dos lados e a altura relativa à base:

2x/y = h/AN

Substituindo AN por y/3 e h por 2x, temos:

2x/(y/3) = 6x/y = 2x/y

Portanto, cos(∠BAC) = 1/2.

Substituindo na expressão para y², temos:

y² = 45/4*x² - 9/2*x²

Simplificando, temos:

y² = 9/4*x²

Tomando a raiz quadrada em ambos os lados, temos:

y = 3/2*x

Agora, vamos encontrar uma expressão para AP. Para isso, vamos usar a relação entre as medidas dos lados e a altura relativa à base:

AP/BC = h/AN

Substituindo BC por x, AN por y/3 e h por 2x, temos:

AP/x = 6x/(y/3) = 18x/y

Substituindo y por 3/2*x, temos:

AP/x = 18x/(3/2*x) = 12

Portanto, AP = 12x.

Substituindo x por AB/3 (pois a distância de M a B é um terço da medida de AB), temos:

AP = 12*(AB/3) = 4*AB

Portanto, temos:

10*AP = 40*AB = 6*AC + 10*AP

Logo, 10*AP = 6*AB + 10*AC.

Dividindo ambos os lados por 10, temos:

AP = 0,6*AB + AC.

Portanto, a expressão para AP em função de AB e AC é 10*AP = 6*AB + 10*AC.

20. Neste triângulo, a distância de M a A é o dobro da distância de M a B. Sabendo, ainda, que AN mede a terça parte da medida de CN , exprima...

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