Dadas as retas L1 : x− 1 = y = z + 5 e L2 : x/3 = y+2/2 = z+2/1. Determinar: (a) a distância entre L1 e L2. (b) a equação da reta L3 que perpend...

(a) Para encontrar a distância entre duas retas, podemos usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta. Escolhendo um ponto em uma das retas e calculando a distância dele até a outra reta, teremos a distância entre as duas retas. Vamos escolher o ponto P(1, 0, 5) na reta L1. A equação geral da reta L2 é x = 3t, y = -2 + 2t e z = -2 + t. Substituindo essas equações na equação da reta L1, temos: (3t) - 1 = (-2 + 2t) = (-2 + t + 5) Simplificando, temos: t = 2 Substituindo t = 2 nas equações da reta L2, temos o ponto Q(6, 2, 0). A distância entre o ponto P e a reta L2 é dada por: d = |(PQ . u2)| / |u2| Onde PQ é o vetor que liga o ponto P ao ponto Q, u2 é o vetor diretor da reta L2 e "." representa o produto escalar. Temos: PQ = Q - P = (6 - 1, 2 - 0, 0 - 5) = (5, 2, -5) u2 = (3, 2, 1) Substituindo esses valores na fórmula, temos: d = |(5, 2, -5) . (3, 2, 1)| / |(3, 2, 1)| d = 5 / sqrt(14) Portanto, a distância entre as retas L1 e L2 é d = 5 / sqrt(14). (b) A reta L3 que é perpendicular a L1 e L2 deve ter um vetor diretor que seja perpendicular aos vetores diretores de L1 e L2. Esse vetor pode ser encontrado através do produto vetorial entre os vetores diretores de L1 e L2. Temos: u1 = (1, 1, 1) u2 = (3, 2, 1) u3 = u1 x u2 = (-1, 2, -1) Portanto, um vetor diretor da reta L3 é u3 = (-1, 2, -1). Para encontrar um ponto na reta L3, podemos escolher um ponto que pertence às duas retas L1 e L2. Vamos escolher o ponto P(1, 0, 5) na reta L1. A equação geral da reta L2 é x = 3t, y = -2 + 2t e z = -2 + t. Substituindo essas equações na equação da reta L1, temos: (3t) - 1 = (-2 + 2t) = (-2 + t + 5) Simplificando, temos: t = 2 Substituindo t = 2 nas equações da reta L2, temos o ponto Q(6, 2, 0). Portanto, um ponto na reta L3 é o ponto de interseção das retas L1 e L2, que é o ponto Q(6, 2, 0). A equação da reta L3 é dada por: x = 6 - t y = 2 + 2t z = -t (c) Para encontrar os pontos de interseção entre as retas L1 e L3, podemos igualar as equações paramétricas das duas retas e resolver o sistema de equações. Temos: L1: x - 1 = y = z + 5 L3: x = 6 - t, y = 2 + 2t, z = -t Substituindo as equações da reta L3 na equação da reta L1, temos: (6 - t) - 1 = 2 + 2t = -t + 5 Simplificando, temos: t = 1 Substituindo t = 1 nas equações da reta L3, temos o ponto R(5, 4, -1). Portanto, o ponto de interseção entre as retas L1 e L3 é R(5, 4, -1). Para encontrar os pontos de interseção entre as retas L2 e L3, podemos seguir o mesmo procedimento. Temos: L2: x/3 = y+2/2 = z+2/1 L3: x = 6 - t, y = 2 + 2t, z = -t Substituindo as equações da reta L3 na equação da reta L2, temos: (6 - t) / 3 = 2 + 2t / 2 = -t + 2 Simplificando, temos: t = 0 Substituindo t = 0 nas equações da reta L3, temos o ponto S(6, 2, 0). Portanto, o ponto de interseção entre as retas L2 e L3 é S(6, 2, 0).