Seja L a interseção dos planos de equações 3x− y − 4z = 5 e 2x− 3y − z = 4. Sabendo que π : x+ 2y + 3z = 1, encontre L ∩ π.

Primeiro, precisamos encontrar as equações paramétricas dos planos. Para isso, podemos escolher uma variável livre e expressá-la em termos das outras duas. Vamos escolher z como variável livre: Para o plano 1: 3x - y - 4z = 5 3x - y = 4z + 5 x = (4z + 5 + y)/3 x = (4/3)z + (5/3) + (1/3)y Para o plano 2: 2x - 3y - z = 4 2x - 3y = z + 4 x = (z + 4 + 3y)/2 x = (1/2)z + 2 + (3/2)y Agora, podemos encontrar a interseção dos planos igualando as equações de x, y e z: (4/3)z + (5/3) + (1/3)y = (1/2)z + 2 + (3/2)y (5/6)z - (2/3)y = 7/3 Podemos escolher outra variável livre para encontrar a equação paramétrica da reta de interseção. Vamos escolher y: (5/6)z - (2/3)y = 7/3 y = (5/4)z - 21/8 Agora, podemos substituir as equações paramétricas da reta de interseção na equação do plano π: x + 2y + 3z = 1 [(4/3)z + (5/3) + (1/3)y] + 2y + 3z = 1 (4/3)z + (7/3)y + 5/3 + 3z = 1 (13/3)y + (13/3)z = -2/3 Podemos escolher outra variável livre para encontrar a equação paramétrica da reta de interseção. Vamos escolher z: (13/3)y + (13/3)z = -2/3 z = (-1/3)y - 2/9 Agora, podemos substituir a equação paramétrica de z na equação da reta de interseção: y = (5/4)z - 21/8 y = (5/4)(-1/3)y - 21/8 y = -5/12y - 21/8 (17/12)y = -21/8 y = -9/17 Substituindo y na equação paramétrica de z: z = (-1/3)y - 2/9 z = (-1/3)(-9/17) - 2/9 z = 23/17 Substituindo y e z na equação paramétrica de x: x = (4/3)z + (5/3) + (1/3)y x = (4/3)(23/17) + (5/3) + (1/3)(-9/17) x = 49/17 Portanto, a interseção entre os planos L e π é o ponto (49/17, -9/17, 23/17).