Seja L a reta de interseção dos planos x+ y + z = 1, x− 2y + 3z = 2. Determinar a equação do plano que contém a L e que passa por (1,−1, 0).

Para determinar a equação do plano que contém a reta L e passa pelo ponto (1,-1,0), podemos utilizar o produto vetorial entre os vetores diretores dos planos que contém a reta L. Primeiro, encontramos um vetor diretor da reta L, que é perpendicular aos vetores normais dos planos x + y + z = 1 e x - 2y + 3z = 2. Podemos fazer isso calculando o produto vetorial entre esses dois vetores normais: n1 = (1, 1, 1) e n2 = (1, -2, 3) n1 x n2 = (6, -2, -3) Assim, um vetor diretor da reta L é dado por: v = (6, -2, -3) Agora, podemos encontrar um vetor normal ao plano que contém a reta L e passa pelo ponto (1,-1,0) fazendo o produto vetorial entre v e o vetor que liga um ponto qualquer da reta L ao ponto (1,-1,0): w = v x (1, -1, 0) = (-3, -3, -8) Finalmente, podemos escrever a equação do plano que contém a reta L e passa pelo ponto (1,-1,0) utilizando o produto escalar entre o vetor normal w e um vetor genérico (x, y, z) do plano: -3(x - 1) - 3(y + 1) - 8z = 0 Simplificando, temos: -3x - 3y - 8z + 15 = 0 Portanto, a equação do plano que contém a reta L e passa pelo ponto (1,-1,0) é -3x - 3y - 8z + 15 = 0.