Exemplo 1 Encontre os ḿınimos e máximos locais da função f (x) = x x2+1 . A derivada da função é f ′(x) = (x2 + 1)− x(2x) (x2 + 1)2 = 1− x2 ...

No exemplo dado, a função f(x) = x/(x^2 + 1) possui dois pontos críticos, que são os valores de x onde a derivada da função é igual a zero. Calculando a derivada f'(x), temos: f'(x) = (x^2 + 1) - x(2x)(x^2 + 1)^2 = 1 - x^2/(x^2 + 1)^2 Para encontrar os pontos críticos, igualamos f'(x) a zero: 1 - x^2/(x^2 + 1)^2 = 0 Simplificando a expressão, temos: (x^2 + 1)^2 - x^2 = 0 Expandindo o quadrado, temos: x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = 0 Simplificando a expressão novamente, temos: x^4 + x^2 + 1 = 0 No entanto, essa equação não possui soluções reais. Portanto, a função f(x) não possui pontos críticos e, consequentemente, não possui mínimos ou máximos locais. Caso haja algum erro na descrição do exemplo ou se você tiver alguma dúvida adicional, por favor, me informe.