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Encontre h(t), dado: d2y(t) dt2 + 6 dy(t) dt + 9y(t) = x(t) Encontrar a resposta no tempo para o sistema linear.

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Para encontrar a resposta no tempo para o sistema linear, precisamos resolver a equação diferencial homogênea associada: d²y(t)/dt² + 6dy(t)/dt + 9y(t) = 0 A equação característica é: r² + 6r + 9 = 0 (r + 3)² = 0 r = -3 (raiz dupla) Portanto, a solução geral da equação diferencial homogênea é: y(t) = c1e^(-3t) + c2te^(-3t) Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação diferencial não homogênea. Podemos usar o método da função de Green: y(t) = h(t)x(t) Onde h(t) é a função de Green. Derivando duas vezes y(t) em relação a t, temos: d²y(t)/dt² = x(t)h''(t) + 2dx(t)/dt h'(t) + d²x(t)/dt² h(t) Substituindo na equação diferencial não homogênea, temos: x(t)h''(t) + 2dx(t)/dt h'(t) + d²x(t)/dt² h(t) + 6dx(t)/dt h(t) + 9x(t)h(t) = x(t) Simplificando: x(t)h''(t) + 2dx(t)/dt h'(t) + (d²x(t)/dt² + 6dx(t)/dt + 9x(t))h(t) = x(t) Como d²y(t)/dt² + 6dy(t)/dt + 9y(t) = x(t), temos: (d²x(t)/dt² + 6dx(t)/dt + 9x(t))h(t) = x(t) h(t) = 1/9 Portanto, a solução geral da equação diferencial não homogênea é: y(t) = c1e^(-3t) + c2te^(-3t) + (1/9)x(t) Essa é a resposta no tempo para o sistema linear.

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